梦熊3月S组

求和

1、算法思想维度

问题类型：DP

错误原因：没有想到 \(\frac{1}{2^i}\) 是 \(\frac{1}{2}\) 的倍数，这样只用考虑 \(1\) 和 \(\frac{1}{2}\) 即可。

正确思路：设 \(dp_{i,j}\) 表示 \(n=i,k=j\) 时的方案数，对 \(1\) 和 \(\frac{1}{2}\) 转移即可。

2、实现细节维度

边界问题：若 \(2j>n\) 则不能转移，或者开两倍数组也行。

代码框架

cin >> n >> k, f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = i; j; j--) {
		f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i][j * 2]) % kM;
	}
}
cout << f[n][k];

3、数学建模维度

复杂度计算：

状态数量：\(O(n^2)\)

转移复杂度：\(O(1)\)

总复杂度：\(O(n^2)\)

4、改进措施

1. 遇到无法下手的题，先简化题目的条件。

博弈

1、算法思想维度

问题类型：博弈论、01 Trie

错误原因：写了状压，\(30\) 分。

正确思路：按位考虑，若该位有偶数个 \(1\) 那么按最高位分两类递归下去做，否则肯定有一次最高位 \(0\) 和 \(1\) 匹配，且这个数一定是最大的，01 Trie 维护一下两个集合各出一个数异或最小值即可。

2、实现细节维度

边界问题：数组要开 \(7e6\)。

3、数学建模维度

复杂度计算：

01 Trie：\(O(\log V)\)。

总复杂度：\(O(n\log V)\)。

4、改进措施

1. 遇到数学类的题要分析性质，不要干想。

数列

1、算法思想维度

问题类型：数学

错误原因：没注意到好数能拆成 \(9\) 个 \(111...111\) 的形式。

2、实现细节维度

边界问题：高精度不要写错

代码框架

for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = (s[n - i] - '0') * 9;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    a[i + 1] += a[i] / 10;
    a[i] %= 10;
  }
  if (a[n + 1]) n++;
  for (int i = 1; i <= n; i++) sum += a[i];
  for (int i = 1; i <= n * 10; i++) {
    a[1] += 9, sum += 9;
    for (int j = 1; j <= n;) {
      if (a[j] < 10) break;
      sum -= 10;
      a[j] -= 10, sum++;
      a[j + 1]++, j++;
      n += (j == n && a[j + 1]);
    }
    if (sum <= 9 * i) {
      return cout << i, 0;
    }
  }

3、改进措施

1. 遇到不会的题可以拆分、分析性质
2. 模板要背熟，不要忘记。