题解：Luogu-P8624 [蓝桥杯 2015 省 AB] 垒骰子

复习了一遍矩阵快速幂，感谢 @naroto2022 的讲课和分享的好题。

本题是一道动态规划结合矩阵加速的好题。

读完题考虑设计状态，记 \(f_{i,j}\) 为第 \(i\) 个骰子点数 \(j\) 朝上时的方案数，则初步得出转移方程为 \(f_{i,j} = \sum_{k = 1}^{6}f_{i-1,k}\times 4\)（乘上 \(4\) 是因为侧面翻转有 \(4\) 种情况）。

接下来对题目中给出的约束条件进行思考，不妨标记一个二维数组 \(to\) 来保存每个限制。当 \(to_{u,v}\) 为 \(0\) 时，方案舍去；否则就维持原状。再标记一个 \(opp\) 数组，标记每个点数的对面点数。于是得出进一步的转移方程为 \(f_{i,j}=\sum_{k=1}^{6}f_{i-1,k}\times4\times to_{opp_j,k}\)。

此时已经接近正解了，但转移复杂度为 \(O(36n)\)，无法接受，于是考虑使用矩阵加速。

由于转移过程与 \(i\) 无关，所以考虑矩阵加速转移，记 \(mp_{i,j}\) 为上一个骰子 \(i\) 点数朝上，当前骰子 \(j\) 点数朝上的方案数，这样就可以以 \(O(6^3logn)\) 的复杂度通过本题。

接下来是参考代码。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int M=40,N=1e9+5,P=1e9+7;
int n,m;
int opp[7]={0,4,5,6,1,2,3};
bool to[7][7];
struct JZ {
	int mp[7][7];
	JZ() {
		memset(mp,0,sizeof mp);
	}
}a,ans;
JZ operator*(const JZ &x,const JZ &y) {
	JZ z;
	for(int k=1;k<=6;k++){
		for(int i=1;i<=6;i++){
			for(int j=1;j<=6;j++){
				z.mp[i][j]=(z.mp[i][j]+x.mp[i][k]*y.mp[k][j]%P)%P;
			}
		}
	}
	return z;
}//矩阵基本操作
void qpow(int k) {
//答案矩阵预处理
	for(int i=1;i<=6;i++)ans.mp[1][i]=4;
//答案矩阵第一行赋初始值4，因为第一个骰子可以放任意位置

//常数矩阵a预处理
	for(int i=1;i<=6;i++){
		for(int j=1;j<=6;j++){
			if(to[i][opp[j]])a.mp[i][j]=0;//不合法,舍去
			else a.mp[i][j]=4;//否则合法
		}
	}

	while(k){
		if(k&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		k>>=1;
	}//矩阵快速幂转移计算答案
	return;
}

signed main() {
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	while(m--){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		to[u][v]=1,to[v][u]=1;
//这里的to数组为了方便，与上述的标记意义相反，1为舍去
	}
	qpow(n-1);
	int res=0;
	for(int i=1;i<=6;i++){
		res=(res+ans.mp[1][i]%P)%P;
	}//所得矩阵第一行元素之和即为答案
	cout<<res;
	return 0;
}

如有不足，还请指出，感谢大家观看！