Codeforces #426 Div2 D（线段树优化 DP ）

#426 Div2 D

题意

给出 \(n\) 个数字，将这些数字隔成 \(k\) 个部分（相对位置不变），统计每个部分有几个不同数字，然后全部加起来求和，问和最大是多少。

分析

很容易想到 \(DP\) 方程，\(dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j - 1] + size(k + 1, i)\) ，\(k < i\) ，\(dp[i][j]\) 表示将 \([1, i]\) 分成 \(j\) 个部分时的答案，\(size(k+1, i)\) 表示区间 \([k+1, i]\) 不同数字的个数。复杂度 \(O(k * n^2)\) 。

考虑用线段树优化，仍然是枚举区间的右端点 \(r\) ，首先线段树里的点动态表示到区间的右端点间不同数字的个数，\(last[a[i]]\) 表示 \(a[i]\) 这个数上一次出现的位置，那么每次我们只需要区间更新 \([last[a[i]] + 1, i]\) 就好了。然后，注意到当我们更新到 \(dp[i + 1][j]\) 时，\(dp[i][j]\) 的值就不会改变了，可以把 \(dp[i][j]\) 的值也存入线段树，维护 \(k\) 个线段树，观察状态转移方程，更新第 \(j\) 个线段树，\(i + 1\) 这个点（和怎么区间查询有关）。复杂度 \(O(k*nlogn)\) 。

最后，其实用不上 \(DP\) 数组了，所有的值都能在线段树中维护。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 2e9 + 7;
const int MAXN = 4e4 + 10;
int n, k;
int a[MAXN];
int s[55][MAXN << 2], lazy[55][MAXN << 2];
void pushDown(int b, int rt) {
    if(s[b][rt] > 0) {
        s[b][rt << 1] += lazy[b][rt];
        s[b][rt << 1 | 1] += lazy[b][rt];
        lazy[b][rt << 1] += lazy[b][rt];
        lazy[b][rt << 1 | 1] += lazy[b][rt];
        lazy[b][rt] = 0;
    }
}
void pushUp(int b, int rt) {
    s[b][rt] = max(s[b][rt << 1], s[b][rt << 1 | 1]);
}
void update(int L, int R, int b, int c, int l, int r, int rt) {
    if(l >= L && r <= R) {
        s[b][rt] += c;
        lazy[b][rt] += c;
        return;
    }
    int m = (l + r) / 2;
    pushDown(b, rt);
    if(L <= m) update(L, R, b, c, lson);
    if(R > m) update(L, R, b, c, rson);
    pushUp(b, rt);
}
int query(int L, int R, int b, int l, int r, int rt) {
    if(l >= L && r <= R) {
        return s[b][rt];
    }
    int m = (l + r) / 2;
    pushDown(b, rt);
    int res = 0;
    if(L <= m) res = query(L, R, b, lson);
    if(R > m) res = max(res, query(L, R, b, rson));
    pushUp(b, rt);
    return res;
}
int last[MAXN];
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        update(last[a[i]] + 1, i, 0, 1, 1, n, 1);
        for(int j = 1; j <= min(k, i); j++) {
            update(last[a[i]] + 1, i, j, 1, 1, n + 1, 1);
            int res = query(j, i, j - 1, 1, n + 1, 1);
            if(i == n) ans = max(ans, res);
            update(i + 1, i + 1, j, res, 1, n + 1, 1);
        }
        last[a[i]] = i;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}