唉 被秀了。。。 还是太弱,说好的数形结合呢,列个式子出来后就被吓到了,然后就懵逼了。

题意:

有一条狗,从原点出发,沿n个向量走,每个向量只走一次,沿着一个向量(x,y)走时,既可以往(x,y)方向走,也可以往(-x,-y)方向走。 然后问这条狗离原点最远的距离。

如果写成方程:

n个向量分别表示为: (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) ... (xn,yn)

第i个向量往(xi,yi)方向则ai=1,否则ai=-1

则ans = (a1*x1+a2*x2+...+an*xn)^2 + (a1*y1+a2*y2+...+an*yn)^2

要你给出一个(a1,a2,...,an)使得ans最大。

我以为写出方程形式会有助于做题,然并卵。。。

这题还是要用直观的方法理解。。。

数形结合方法:

定理1:如果把一个向量的正方向和反方向都算上,那么最优解的n个向量必然在一个半平面内。

证明: 假设最优解中的n个向量不在一个半平面内,一定可以找到一个直线l,使得直线左右两边都存在向量,那么将直线l左边的向量都转变为其反向量,那么结果一定大于最优解。

定理2: 如果把一个向量的正方向和反方向都算上,并以对x正半轴夹角排序,则连续的n个向量必两两不同(即不会存在一个向量的正向量和反向量都存在的情况)。

证: 显然。

由这两个定理,那么这题就很好做了,把所有的(xi,yi)(-xi,-yi)都算上,然后进行极角排序,枚举连续的n个记录最大值即可。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 110
const double PI = acos(-1.0);// PI struct node
{
int x,y;
double ang;
}g[*N]; double GetAngle(double x,double y)
{
double tmp=atan2(y,x);
if(tmp<) tmp=*PI+tmp;
return tmp;
} double dis(int x,int y)
{
return sqrt((double)x*x+(double)y*y);
} int cmp(node t1,node t2)
{
return t1.ang<t2.ang;
} //泥煤,完全想错了。。。 int main(int argc, const char * argv[]) {
int n;
while(scanf("%d",&n) && n)
{
int cnt=;
for(int i=;i<n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
g[cnt].x=x; g[cnt].y=y; g[cnt].ang=GetAngle(x, y);
cnt++;
g[cnt].x=-x; g[cnt].y=-y; g[cnt].ang=GetAngle(-x, -y);
cnt++;
}
sort(g,g+cnt,cmp);
int pi,pj;
pi=;
double ans=;
for(;pi<cnt;pi++)
{
int x=,y=;
pj=pi;
for(int j=;j<n;j++)
{
x+=g[pj].x;
y+=g[pj].y;
pj=(pj+)%cnt;
}
ans=max(ans,dis(x,y));
}
/*
ans*=10000;
int tmp=((long long)ans)%10;
ans/=10;
if(tmp>5) ans++;
ans/=1000;
char strans[110];
sprintf(strans,"%lf",ans);
for(int i=0;i<100;i++)
{
if(strans[i] == '.')
{
printf("%c",strans[i]);
for(int j=0;j<3;j++)
{
printf("%c",strans[i+1+j]);
}
break;
}
else printf("%c",strans[i]);
}
printf("\n");
*/
printf("%.3lf\n",ans);
}
return ;
}

PS:最后题目中说的四舍五入是扯淡,直接%.3lf即可。

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