[xsy2978]Product of Roots

$\newcommand{align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}$题意：给出$f(x)=\prod\limits_{i=1}^n(a_ix+1)$和$g(x)=\prod\limits_{j=1}^m(b_jx+1)$的各项系数，求$h(x)=\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^m(a_ib_jx+1)$的前$k$项系数

乘积的形式不好处理，取个$\ln$就可以化为和的形式

$\align{\ln(a_ix+1)=\int\frac{a_i}{a_ix+1}\mathrm dx=\sum\limits_{k\geq1}\dfrac{(-1)^{k+1}}ka_i^kx^k}$

$\align{\ln(b_jx+1)=\sum\limits_{k\geq1}\dfrac{(-1)^{k+1}}kb_j^kx^k}$

$\align{\ln(a_ib_jx+1)=\sum\limits_{k\geq1}\dfrac{(-1)^{k+1}}ka_i^kb_j^kx^k}$

容易发现我们把前两个式子的系数做点积，再对$\forall k\geq1$把第$k$位乘上$(-1)^{-k+1}k$就得到了第三个式子的系数

所以我们把$\ln f(x)$和$\ln g(x)$的系数如此处理后就得到了$\ln h(x)$的系数，$\exp$回去即可

#include<stdio.h>
#include<string.h>
typedef long long ll;
const int mod=998244353,maxn=262144;
void swap(int&a,int&b){a^=b^=a^=b;}
int mul(int a,int b){return a*(ll)b%mod;}
int ad(int a,int b){return(a+b)%mod;}
int de(int a,int b){return(a-b)%mod;}
int pow(int a,int b){
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=mul(s,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int rev[maxn],N,iN;
void pre(int n){
	int i,k;
	for(N=1,k=0;N<n;N<<=1)k++;
	for(i=0;i<N;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
	iN=pow(N,mod-2);
}
void ntt(int*a,int on){
	int i,j,k,t,w,wn;
	for(i=0;i<N;i++){
		if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(i=2;i<=N;i<<=1){
		wn=pow(3,on==1?(mod-1)/i:(mod-1-(mod-1)/i));
		for(j=0;j<N;j+=i){
			w=1;
			for(k=0;k<i>>1;k++){
				t=mul(w,a[i/2+j+k]);
				a[i/2+j+k]=de(a[j+k],t);
				a[j+k]=ad(a[j+k],t);
				w=mul(w,wn);
			}
		}
	}
	if(on==-1){
		for(i=0;i<N;i++)a[i]=mul(a[i],iN);
	}
}
int t0[maxn];
void getinv(int*a,int*b,int n){
	if(n==1){
		b[0]=pow(a[0],mod-2);
		return;
	}
	int i;
	getinv(a,b,n>>1);
	pre(n<<1);
	memset(t0,0,N<<2);
	memcpy(t0,a,n<<2);
	ntt(t0,1);
	ntt(b,1);
	for(i=0;i<N;i++)b[i]=mul(b[i],2-mul(b[i],t0[i]));
	ntt(b,-1);
	for(i=n;i<N;i++)b[i]=0;
}
int t1[maxn],inv[maxn];
void getln(int*a,int*b,int n){
	int i;
	memset(t1,0,n<<3);
	getinv(a,t1,n);
	for(i=1;i<n;i++)b[i-1]=mul(i,a[i]);
	ntt(b,1);
	ntt(t1,1);
	for(i=0;i<N;i++)b[i]=mul(b[i],t1[i]);
	ntt(b,-1);
	for(i=n-1;i>0;i--)b[i]=mul(b[i-1],inv[i]);
	b[0]=0;
	for(i=n;i<N;i++)b[i]=0;
}
int t2[maxn];
void exp(int*a,int*b,int n){
	if(n==1){
		b[0]=1;
		return;
	}
	int i;
	exp(a,b,n>>1);
	memset(t2,0,n<<3);
	getln(b,t2,n);
	for(i=0;i<n;i++)t2[i]=de(a[i],t2[i]);
	t2[0]++;
	ntt(b,1);
	ntt(t2,1);
	for(i=0;i<N;i++)b[i]=mul(b[i],t2[i]);
	ntt(b,-1);
	for(i=n;i<N;i++)b[i]=0;
}
int f[maxn],g[maxn],lf[maxn],lg[maxn],lh[maxn],h[maxn];
int main(){
	int N,n,m,k,i;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(i=0;i<=n;i++)scanf("%d",f+i);
	for(i=0;i<=m;i++)scanf("%d",g+i);
	for(N=1;N<n+1||N<m+1||N<k+1;N<<=1);
	inv[1]=1;
	for(i=2;i<N;i++)inv[i]=-mul(mod/i,inv[mod%i]);
	getln(f,lf,N);
	getln(g,lg,N);
	for(i=0;i<N;i++)lh[i]=mul(mul(lf[i],lg[i]),i&1?i:-i);
	exp(lh,h,N);
	for(i=0;i<k;i++)printf("%d ",ad(h[i],mod));
}