HDU - 2294: Pendant(矩阵优化DP&前缀和)
Output the answer taken modulo 1234567891.
InputThe input consists of multiple test cases. The first line contains an integer T indicating the number of test cases. Each case is on one line, consisting of two integers N and K, separated by one space.
Technical Specification
1 ≤ T ≤ 10
1 ≤ N ≤ 1,000,000,000
1 ≤ K ≤ 30
OutputOutput the answer on one line for each test case.Sample Input
2
2 1
3 2
Sample Output
2
8
题意:给定N,K。求不超过N的链子的所有染色情况,使得起使用了K种颜色。
思路:
法1:容斥,用K种颜色,则其方案=1^K+2^K+...N^K,符号为正。 用K-1种颜色,方案=1^(K-1)+2^(K-2)...N^(K-1),符号为负...。用1种颜色...然后累加即可,但是我不会。
法2:不难得到其DP方程,dp[i][j]=dp[i-1][j-1]*(K-j+1)+dp[i-1][j]*j;然后用矩阵优化DP。在第一维加个1用来累加前缀和。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
const int Mod=;
int L;
struct mat
{
int M[maxn][maxn];
mat() { memset(M,,sizeof(M)); }
mat friend operator *(mat a,mat b)
{
mat res;
for(int k=;k<=L;k++)
for(int i=;i<=L;i++)
for(int j=;j<=L;j++)
res.M[i][j]=(res.M[i][j]+(ll)a.M[i][k]*b.M[k][j]%Mod)%Mod;
return res;
}
mat friend operator ^(mat a,ll x)
{
mat res; rep(i,,L) res.M[i][i]=;
while(x){
if(x&1LL) res=res*a; a=a*a; x/=;
} return res;
}
}; int main()
{
int T,N,K;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&N,&K); L=K;
mat base,a;
a.M[][]=K; //单独考虑,因为base的第0行是累加dp的,不能再用了。
base.M[][]=; base.M[][K]=;
rep(i,,K){
if(i!=)//这里单独考虑了。
base.M[i][i-]=K-i+;
base.M[i][i]=i;
}
a=(base^(N))*a;
printf("%d\n",a.M[][]);
}
return ;
}
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