【BZOJ】5010: [Fjoi2017]矩阵填数

【算法】离散化+容斥原理

【题意】给定大矩阵，可以每格都可以任意填1~m，给定n个子矩阵，要求满足子矩阵内的最大值为vi，求方案数。

n<=10,h,w<=1w。

【题解】

此题重点之一在于离散化，因为有效坐标很少，离散化后遵循左闭右开计算矩阵点数。

然后对于每个格，能填的最大值是min(m,vi),vi为覆盖到该点的所有小矩阵，就此算出总方案数。

现在多考虑了一些情况，就是每个小矩阵中至少要有一个格子是最大值，不符合的情况需要剔除。

考虑容斥原理，奇加偶减，不过这里是总方案-容斥部分，所以是奇减偶加。

2^n枚举子集，然后对于选中的矩阵为min(vi-1)，未选中的矩阵为min(vi)，其它为m，即强制选中的矩阵不符合条件。

复杂度O(2^n*[n*n^2+n^2*log n])。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=,M=;

int h,w,m,n,x1[maxn],y1[maxn],x2[maxn],y2[maxn],vx[maxn];
int x[maxn],y[maxn],totx,toty,totv;
int mat[maxn][maxn],map[maxn][maxn],ans,s;

int pow(int x,int k){
    int as=;
    while(k){
        if(k&)as=1ll*as*x%M;
        x=1ll*x*x%M;
        k>>=;
    }
    return as;
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d%d",&h,&w,&m,&n);
        totx=toty=totv=;
        x[++totx]=;x[++totx]=h+;
        y[++toty]=;y[++toty]=w+;
        for(int i=;i<=n;i++){
            scanf("%d%d%d%d%d",&x1[i],&y1[i],&x2[i],&y2[i],&vx[i]);
            x[++totx]=x1[i];x[++totx]=x2[i]+;
            y[++toty]=y1[i];y[++toty]=y2[i]+;
        }
        sort(x+,x+totx+);totx=unique(x+,x+totx+)-x-;
        sort(y+,y+toty+);toty=unique(y+,y+toty+)-y-;
        for(int i=;i<totx;i++)for(int j=;j<toty;j++)mat[i][j]=(x[i+]-x[i])*(y[j+]-y[j]);
        for(int i=;i<=n;i++){
            x1[i]=lower_bound(x+,x+totx+,x1[i])-x;
            x2[i]=lower_bound(x+,x+totx+,x2[i]+)-x;
            y1[i]=lower_bound(y+,y+toty+,y1[i])-y;
            y2[i]=lower_bound(y+,y+toty+,y2[i]+)-y;
        }
        ans=;
        for(int S=;S<(<<n);S++){
            int num=;
            for(int i=;i<totx;i++)for(int j=;j<toty;j++)map[i][j]=m;
            for(int k=;k<=n;k++){
                int mx=vx[k];
                if(S&(<<(k-))){mx--;num++;}
                for(int i=x1[k];i<x2[k];i++)for(int j=y1[k];j<y2[k];j++)map[i][j]=min(map[i][j],mx);
            }
            if(num&)s=-;else s=;
            for(int i=;i<totx;i++)for(int j=;j<toty;j++)s=1ll*s*pow(map[i][j],mat[i][j])%M;
            ans=(ans+s)%M;
        }
        printf("%d\n",(ans+M)%M);
    }
    return ;
}

可以优化一下，统计每个策略时本来是枚举所有点，改为枚举所有权值，因为快速幂取模很慢，所以速度得到了巨大的提升……

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=,M=;

int h,w,m,n,x1[maxn],y1[maxn],x2[maxn],y2[maxn],vx[maxn];
int x[maxn],y[maxn],v[maxn],totx,toty,totv;
int mat[maxn][maxn],map[maxn][maxn],ans,s,c[maxn];

int pow(int x,int k){
    int as=;
    while(k){
        if(k&)as=1ll*as*x%M;
        x=1ll*x*x%M;
        k>>=;
    }
    return as;
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d%d",&h,&w,&m,&n);
        totx=toty=totv=;
        x[++totx]=;x[++totx]=h+;
        y[++toty]=;y[++toty]=w+;
        v[++totv]=m;
        for(int i=;i<=n;i++){
            scanf("%d%d%d%d%d",&x1[i],&y1[i],&x2[i],&y2[i],&vx[i]);
            x[++totx]=x1[i];x[++totx]=x2[i]+;
            y[++toty]=y1[i];y[++toty]=y2[i]+;
            v[++totv]=vx[i];v[++totv]=vx[i]-;
        }
        sort(x+,x+totx+);totx=unique(x+,x+totx+)-x-;
        sort(y+,y+toty+);toty=unique(y+,y+toty+)-y-;
        sort(v+,v+totv+);totv=unique(v+,v+totv+)-v-;
        for(int i=;i<totx;i++)for(int j=;j<toty;j++)mat[i][j]=(x[i+]-x[i])*(y[j+]-y[j]);
        for(int i=;i<=n;i++){
            x1[i]=lower_bound(x+,x+totx+,x1[i])-x;
            x2[i]=lower_bound(x+,x+totx+,x2[i]+)-x;
            y1[i]=lower_bound(y+,y+toty+,y1[i])-y;
            y2[i]=lower_bound(y+,y+toty+,y2[i]+)-y;
            vx[i]=lower_bound(v+,v+totv+,vx[i])-v;
        }
        ans=;
        for(int S=;S<(<<n);S++){
            int num=;
            for(int i=;i<totx;i++)for(int j=;j<toty;j++)map[i][j]=totv;
            for(int k=;k<=n;k++){
                int mx=vx[k];
                if(S&(<<(k-))){mx--;num++;}
                for(int i=x1[k];i<x2[k];i++)for(int j=y1[k];j<y2[k];j++)map[i][j]=min(map[i][j],mx);
            }
            if(num&)s=-;else s=;
            for(int i=;i<=totv;i++)c[i]=;
            for(int i=;i<totx;i++)for(int j=;j<toty;j++)c[map[i][j]]+=mat[i][j];
            for(int i=;i<=totv;i++)s=1ll*s*pow(v[i],c[i])%M;
            ans=(ans+s)%M;
        }
        printf("%d\n",(ans+M)%M);
    }
    return ;
}