BZOJ - 3757 树上莫队解决离线路径问题 & 学习心得

题意:给你一棵树,求u,v最短路径的XXX(本题是统计权值种类)

今天课上摸鱼学了一种有意思的处理路径方式(其实是链式块状树翻车了看别的),据说实际运行跑的比XX记者还快

大概就是像序列莫队那样

首先是对暴力查询的优化

第一关键字是块(树上分块),第二关键字是dfs序,这样保证了离线操作的下界最优

其次是转移的优化

我把大佬的话再转述一遍:

设\(S(u,v)\):\(u-v\)最短路径所覆盖的点集

\(S(u,v)=S(root,u)⊕S(root,v)⊕lca(u,v)\)

记\(T(u,v)=S(root,u)⊕S(root,v)\)

每次转移我们只考虑\(T\)的部分,\(lca\)单独处理

对于某一次距离为1的转移,如\(u→u'\)

\(T(u,u')=S(root,u)⊕S(root,u')\)

\(T(u',v)=S(root,u')⊕S(root,v)\)

\(T(u',v)=S(root,u)⊕S(root,v)⊕S(root,u)⊕S(root,u')=T(u,v)⊕T(u,u')\)

得出结论\(T(u',v)=T(u,v)⊕T(u,u')\)

就是说转移的时候只需多处理\(u-u'\)和\(v-v'\)即可(推广后就是任意距离都可以),记得考虑每次单独处理的\(lca\)(先后翻转2遍标记)

那么再经过%hzwer的帖子学习后得出可能正确的代码(由于无法交题,没有验证正确性)

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,j,k) for(register int i=j;i<=k;i++)
#define rrep(i,j,k) for(register int i=j;i>=k;i--)
#define erep(i,u) for(register int i=head[u];~i;i=nxt[i])
#define print(a) printf("%lld",(ll)(a))
#define println(a) printf("%lld\n",(ll)(a))
#define printbk(a) printf("%lld ",(ll)(a))
using namespace std;
const int MAXN = 3e4+11;
const int INF = 0x7fffffff;
typedef long long ll;
ll read(){
    ll x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int to[MAXN<<1],nxt[MAXN<<1],head[MAXN],tot;
void init(){
    memset(head,-1,sizeof head);
    tot=0;
}
void add(int u,int v){
    to[tot]=v;
    nxt[tot]=head[u];
    head[u]=tot++;
}
int color[MAXN],belong[MAXN],depth[MAXN],dfn[MAXN];
int stk[MAXN],bit[32],limit,root,cnt,CLOCK,top;
int anc[MAXN][20];
bool vis[MAXN];
int ANS,cntNum[MAXN],ans[MAXN];
struct QQQ{
    int u,v,a,b,id;
    bool operator < (const QQQ &rhs) const{
        if(belong[u]!=belong[rhs.u]){
            return belong[u]<belong[rhs.u];
        }else{
            return dfn[v]<dfn[rhs.v];
        }
    }
}Q[MAXN];

int dfs(int u,int fa,int d){
    dfn[u]=++CLOCK;
    anc[u][0]=fa; depth[u]=d;
    rep(i,1,16){
        if(depth[u]<bit[i]) break;
        anc[u][i]=anc[anc[u][i-1]][i-1];
    }
    int num=0;
    erep(i,u){
        int v=to[i];
        if(v==fa) continue;
        num+=dfs(v,u,d+1);
        if(num>=limit){
            ++cnt;
            rep(i,1,num) belong[stk[top--]]=cnt;
            num=0;
        }
    }
    stk[++top]=u; num++;
    return num;
}
int lca(int u,int v){
    if(depth[u]<depth[v]) swap(u,v);
    int d=depth[u]-depth[v];
    for(int i=0;bit[i]<=d;i++){
        if(d>>i&1) u=anc[u][i];
    }
    for(int i=16;i>=0;i--){
        if(anc[u][i]!=anc[v][i]){
            u=anc[u][i];
            v=anc[v][i];
        }
    }
    if(u==v) return u;
    else return anc[u][0];
}
void rev(int u){
    if(!vis[u]){
        vis[u]=1;
        if(cntNum[color[u]]==0) ANS++;
        cntNum[color[u]]++;
    }else{
        vis[u]=0;
        if(cntNum[color[u]]==1) ANS--;
        cntNum[color[u]]--;
    }
}
void viss(int u,int v){
    while(u!=v){
        if(depth[u]>depth[v]) rev(u),u=anc[u][0];
        else rev(v),v=anc[v][0];
    }
}
int main(){
    int n,m;
    bit[0]=1;rep(i,1,30) bit[i]=bit[i-1]<<1;
    while(cin>>n>>m){
        init(); limit=sqrt(n)+1;
        rep(i,1,n) color[i]=read();
        rep(i,1,n){
            int u=read();
            int v=read();
            if(u*v==0) root=u|v;
            else add(u,v),add(v,u);
        }
        top=cnt=CLOCK=0;
        memset(anc,0,sizeof anc);
        dfs(root,0,1);
        if(top){
            cnt++;
            while(top) belong[stk[top--]]=cnt;
        }
        rep(i,1,m){
            Q[i].u=read();
            Q[i].v=read();
            Q[i].a=read();
            Q[i].b=read();
            Q[i].id=i;
        }
        sort(Q+1,Q+1+m); ANS=0;
        int t=lca(Q[1].u,Q[1].v);
        memset(vis,0,sizeof vis);
        viss(Q[1].u,Q[1].v);
        rev(lca(Q[1].u,Q[1].v));
        ans[Q[1].id]=ANS;
        rev(lca(Q[1].u,Q[1].v));
        if(cntNum[Q[1].a]&&cntNum[Q[1].b]&&Q[1].a!=Q[1].b){
            ans[Q[1].id]--;
        }
        rep(i,2,m){
            viss(Q[i-1].u,Q[i].u);
            viss(Q[i-1].v,Q[i].v);
            rev(lca(Q[i].u,Q[i].v));
            ans[Q[i].id]=ANS;
            if(cntNum[Q[i].a]&&cntNum[Q[i].b]&&Q[i].a!=Q[i].b){
                ans[Q[i].id]--;
            }
            rev(lca(Q[i].u,Q[i].v));
        }
        rep(i,1,m) println(ans[i]);
    }
    return 0;
}