BZOJ2819 Nim 【dfn序 + lca + 博弈论】

题目

著名游戏设计师vfleaking，最近迷上了Nim。普通的Nim游戏为：两个人进行游戏，N堆石子，每回合可以取其中某一堆的任意多个，可以取完，但不可以不取。谁不能取谁输。这个游戏是有必胜策略的。于是vfleaking决定写一个玩Nim游戏的平台来坑玩家。

为了设计漂亮一点的初始局面，vfleaking用以下方式来找灵感：拿出很多石子，把它们聚成一堆一堆的，对每一堆编号1,2,3,4,…n,在堆与堆间连边，没有自环与重边，从任意堆到任意堆都只有唯一一条路径可到达。然后他不停地进行如下操作：

1.随机选两个堆v,u，询问若在v到u间的路径上的石子堆中玩Nim游戏，是否有必胜策略，如果有，vfleaking将会考虑将这些石子堆作为初始局面之一，用来坑玩家。

2.把堆v中的石子数变为k。

由于vfleaking太懒了，他懒得自己动手了。请写个程序帮帮他吧。

输入格式

第一行一个数n，表示有多少堆石子。

接下来的一行，第i个数表示第i堆里有多少石子。

接下来n-1行，每行两个数v,u，代表v,u间有一条边直接相连。

接下来一个数q，代表操作的个数。

接下来q行，每行开始有一个字符：

如果是Q，那么后面有两个数v,u，询问若在v到u间的路径上的石子堆中玩Nim游戏，是否有必胜策略。

如果是C，那么后面有两个数v,k，代表把堆v中的石子数变为k。

对于100%的数据：

1≤N≤500000, 1≤Q≤500000, 0≤任何时候每堆石子的个数≤32767

其中有30%的数据：

石子堆组成了一条链，这3个点会导致你DFS时爆栈（也许你不用DFS？）。其它的数据DFS目测不会爆。

注意：石子数的范围是0到INT_MAX

输出格式

对于每个Q，输出一行Yes或No，代表对询问的回答。

输入样例

5

1 3 5 2 5

1 5

3 5

2 5

1 4

6

Q 1 2

Q 3 5

C 3 7

Q 1 2

Q 2 4

Q 5 3

输出样例

Yes

No

Yes

Yes

Yes

题解

14s，还以为要T了QAQ

额。其实和博弈论是有那么点关系的。。其实就是一个众所周知博弈论结论：

Nim游戏先手必胜，当且仅当石子数的异或和不为0

说白了就是维护路径异或和

树剖？应该可以吧。。。【题目说会爆栈？】

我选择了求dfs序【然而还是要dfs。。】

我们开一棵线段树维护每个dfs序对应点到根的异或和

询问 询问u和v对应的异或和，再异或上lca的权值

修改 一个点的权值修改，只会影响到其子树，利用dfn就可以在线段树上修改

复杂度O(nlogn)

常数大得飞起

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define Redge(u) for (int k = h[u]; k != -1; k = ed[k].nxt)
using namespace std;
const int maxn = 500005,maxm = 1000005,INF = 1000000000;
inline int RD(){
    int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
    while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
    while (c >= 48 && c <= 57) {out = (out << 1) + (out << 3) + c - '0'; c = getchar();}
    return out * flag;
}
int h[maxn],ne = 0;
struct EDGE{int to,nxt;}ed[maxm];
inline void build(int u,int v){
    ed[ne] = (EDGE){v,h[u]}; h[u] = ne++;
    ed[ne] = (EDGE){u,h[v]}; h[v] = ne++;
}
int dfn[maxn],fa[maxn][20],siz[maxn],dep[maxn],V[maxn],w[maxn],id[maxn],n,cnt = 0;
void dfs(int u){
    dfn[u] = ++cnt; siz[u] = 1; id[cnt] = u;
    REP(i,19) fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];
    Redge(u) if (ed[k].to != fa[u][0]){
        fa[ed[k].to][0] = u; dep[ed[k].to] = dep[u] + 1; w[ed[k].to] ^= w[u];
        dfs(ed[k].to);
        siz[u] += siz[ed[k].to];
    }
}
int sum[4 * maxn],lazy[4 * maxn],L,R;
inline void Build(int u,int l,int r){
    if (l == r) {sum[u] = w[id[l]]; return;}
    int mid = l + r >> 1;
    Build(u << 1,l,mid);
    Build(u << 1 | 1,mid + 1,r);
    sum[u] = sum[u << 1] ^ sum[u << 1 | 1];
}
inline void pd(int u,int l,int r){
    int mid = l + r >> 1;
    sum[u << 1] ^= ((mid - l + 1) & 1) * lazy[u];
    sum[u << 1 | 1] ^= ((r - mid) & 1) * lazy[u];
    lazy[u << 1] ^= lazy[u]; lazy[u << 1 | 1] ^= lazy[u];
    lazy[u] = 0;
}
void modify(int u,int l,int r,int v){
    if (l >= L && r <= R) {sum[u] ^= ((r - l + 1) & 1) * v; lazy[u] ^= v; return;}
    if (lazy[u]) pd(u,l,r);
    int mid = l + r >> 1;
    if (mid >= L) modify(u << 1,l,mid,v);
    if (mid < R) modify(u << 1 | 1,mid + 1,r,v);
    sum[u] = sum[u << 1] ^ sum[u << 1 | 1];
}
int query(int u,int l,int r){
    if (l >= L && r <= R) return sum[u];
    if (lazy[u]) pd(u,l,r);
    int mid = l + r >> 1;
    if (mid >= R) return query(u << 1,l,mid);
    else if (mid < L) return query(u << 1 | 1,mid + 1,r);
    else return query(u << 1,l,mid) + query(u << 1 | 1,mid + 1,r);
}
int lca(int u,int v){
    if (dep[u] < dep[v]) swap(u,v);
    int d = dep[u] - dep[v];
    for (int i = 0; (1 << i) <= d; i++)
        if ((1 << i) & d) u = fa[u][i];
    if (u == v) return u;
    for (int i = 19; i >= 0; i--)
        if (fa[u][i] != fa[v][i]) u = fa[u][i],v = fa[v][i];
    return fa[u][0];
}
void Query(int u,int v){
    int a,b,c;
    L = R = dfn[u]; a = query(1,1,n);
    L = R = dfn[v]; b = query(1,1,n);
    c = V[lca(u,v)];
    if (a ^ b ^ c) puts("Yes");
    else puts("No");
}
void Change(int u,int v){
    L = dfn[u]; R = dfn[u] + siz[u] - 1;
    modify(1,1,n,V[u] ^ v); V[u] = v;
}
int main(){
    memset(h,-1,sizeof(h));
    n = RD();
    REP(i,n) w[i] = V[i] = RD();
    REP(i,n - 1) build(RD(),RD());
    dep[1] = 1; dfs(1);
    Build(1,1,n);
    int Q = RD(),u,v; char cmd;
    while (Q--){
        cmd = getchar();
        while (cmd != 'Q' && cmd != 'C') cmd = getchar();
        u = RD(); v = RD();
        if (cmd == 'Q') Query(u,v);
        else Change(u,v);
    }
    return 0;
}