洛谷 P1268 树的重量 解题报告

P1268 树的重量

题目描述

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树，其叶节点表示一个物种，两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在，一个重要的问题是，根据物种之间的距离，重构相应的“进化树”。

令N={1..n}，用一个N上的矩阵M来定义树T。其中，矩阵M满足：对于任意的i，j，k，有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足：

1．叶节点属于集合N；

2．边权均为非负整数；

3．dT(i,j)=M[i,j]，其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

如下图，矩阵M描述了一棵树。

树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M，它所能表示树的重量是惟一确定的，不可能找到两棵不同重量的树，它们都符合矩阵M。你的任务就是，根据给出的矩阵M，计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树，这棵树的总重量为15。

输入输出格式

输入格式：

输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2<n<30)。其后n-1行，给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线)，矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。

输入数据以n=0结尾。

输出格式：

对于每组输入，输出一行，一个整数，表示树的重量。

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我已经蠢到看了题解还傻了无敌久才弄懂了。

考虑2个点时，我们加入的一条边可以直接被统计上。

第3个点时，我们并不关系它加在1,2点的边上的哪里，但我们只能加在这条边上并且唯一确定多出来的那条边的权值

如下图，权值为

\((dis_{1,3}+dis_{2,3}-dis_{1,2})/2\)

在加入第四个点时，我们就需要决策一下到底是加在链1,2上呢？还是链1,3上呢

答案是加入新产生的权值最小的那条边

为什么呢？

因为如果不是最小的，那条红色的链就统计重复了。

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Code:

#include <cstdio>
const int N=32;
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int dis[N][N],n;
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
            {
                scanf("%d",&dis[i][j]);
                dis[j][i]=dis[i][j];
            }
        int ans=dis[1][2];
        for(int i=3;i<=n;i++)
        {
            int mi=0x7fffffff;
            for(int j=2;j<i;j++)
                mi=min(mi,dis[1][i]+dis[j][i]-dis[1][j]);
            ans+=mi>>1;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

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2018.8.9