DAG模型——硬币问题

硬币问题　　

　　有n种硬币，面值分别为V₁，V₂，...,V_n，每种都有无限多。给定非负整数S，可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S？输出硬币数目的最小值和最大值。1<=n<=100, 0<=S<=10000,1<=V_i<=S.

分析：

　　我们把每种面值看做一个点，表示“还需要凑足的面值”，则初始状态为S，目标状态为0.若当前在状态 i ，每使用一个硬币j ，状态便转移到 i-Vj .

　　注意到最长路和最短路的求法是类似的，下面只考虑最长路。由于终点固定，d(i)的确切含义变为“从结点i出发到结点0的最长路径长度”

　　在记忆化搜索中，如果用特殊值表示“还没算过”，则必须将其和其他特殊值（比如无解）区分开。

　　也可以不用特殊值表示还没算过，而是用另外一个数组vis[i]表示状态i “是否被访问过”

记忆化搜索代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int maxn = , maxv = ;
 int n, S, v[maxn], mind[maxv], maxd[maxv];
 int dp1(int s) //最小值
 {
     int &ans = mind[s];
     if(ans != -) return ans;
     ans = <<;
     for(int i = ; i <= n; ++i) if(v[i] <= s) ans = min(ans, dp1(s-v[i])+);
     return ans;
 }
 int vis[maxv];
 int dp2(int s) //最大值
 {
     if(vis[s]) return maxd[s];
     vis[s] = ;
     int &ans = maxd[s];
     ans = -<<;
     for(int i = ; i <= n; ++i) if(s >= v[i]) ans = max(ans, dp2(s-v[i])+);
     return ans;
 }
 void print_ans(int* d, int s) //打印的是边
 {
     for(int i = ; i <= n; ++i) if(v[i] <= s && d[s-v[i]]+ ==d[s])
         {
             printf("%d ",i);
             print_ans(d, s-v[i]);
             break;
         }
 }
 int main()
 {
     freopen("9-3.in", "r", stdin);
     scanf("%d%d", &n, &S);
     for(int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", v+i);
     memset(mind, -, sizeof(mind));
     mind[] = ;
     printf("%d\n", dp1(S));
     print_ans(mind, S);
     printf("\n");
     memset(maxd, -, sizeof(maxd));
     memset(vis, , sizeof(vis));
     maxd[] = ;
     vis[] = ;
     printf("%d\n", dp2(S));
     print_ans(maxd, S);
     printf("\n");
     return ;
 }

递推代码如下：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 const int maxn = , maxv = , INF = ;
 int v[maxn], S, n, maxf[maxv], minf[maxv], min_coin[maxv], max_coin[maxv];
 void print_ans(int *d, int s){
     while(s){
         printf("%d ", d[s]);
         s-=v[d[s]];
     }
 }
 int main(){
     freopen("9-3.in", "r", stdin);
     scanf("%d%d", &n, &S);
     for(int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", &v[i]);
     for(int i = ; i <= S; ++i) {
         //最应注意的是边界条件、初始化，因为递推作为重点一般不会写错，就是在这种细节处出错
         maxf[i] = -INF;
         minf[i] = INF;
     }
     maxf[] = minf[] = ;
     for(int i = ; i <= S; ++i)
       for(int j = ; j <= n; ++j) if(i >= v[j]){
           if(maxf[i-v[j]] +  > maxf[i]){
               maxf[i] = maxf[i-v[j]] + ;
               max_coin[i] = j;
           }
           if(minf[i-v[j]] +  < minf[i]){
               minf[i] = minf[i-v[j]] + ;
               min_coin[i] = j;
           }
       }
     printf("%d\n", minf[S]);
     print_ans(min_coin, S);
     printf("\n");
     printf("%d\n", maxf[S]);
     print_ans(max_coin, S);
     printf("\n");
     return ;
 }    

不必打印路径代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 const int maxn = , maxv = , INF = ;
 int n, S, v[maxn], min[maxv], max[maxv];
 int main(){
     scanf("%d%d", &n, &S);
     for(int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", v+i);
     min[] = max[] = ;
     for(int i = ; i <= S; ++i) {min[i] = INF; max[i] = -INF;}
     for(int i = ; i <= S; ++i)
       for(int j = ; j <= n; ++j) if(v[j] <= i){
           if(min[i-v[j]] +  < min[i]) min[i] = min[i-v[j]] + ;
           if(max[i-v[j]] +  > max[i]) max[i] = max[i-v[j]] + ;
       }
     printf("%d\n", min[S]);
     printf("%d\n", max[S]);
     return ;
 }