Problem Description

今年暑假杭电ACM集训队第一次组成女生队,其中有一队叫RPG,但做为集训队成员之一的野骆驼竟然不知道RPG三个人具体是谁谁。RPG给他机会让他猜猜,第一次猜:R是公主,P是草儿,G是月野兔;第二次猜:R是草儿,P是月野兔,G是公主;第三次猜:R是草儿,P是公主,G是月野兔;......可怜的野骆驼第六次终于把RPG分清楚了。由于RPG的带动,做ACM的女生越来越多,我们的野骆驼想都知道她们,可现在有N多人,他要猜的次数可就多了,为了不为难野骆驼,女生们只要求他答对一半或以上就算过关,请问有多少组答案能使他顺利过关。

Input

输入的数据里有多个case,每个case包括一个n,代表有几个女生,(n<=25), n = 0输入结束。

Sample Input

1

2

0

Sample Output

1

1

思路:

考虑到,答对一半以上。那么可以先抽出m/2个然后另外m/2个进行全部错误顺序的排列(错排)。当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.

第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;

第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有M(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;

综上得到

M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]

特殊地,M⑴=0,M⑵=1

得到错排公式之后,应用于程序即可。分别得出m/2, m/2+1 … m对应的情况数之后,求和即可得到正确的结果。

  1.  
  1. #include<iostream>
  2. using namespace std;
  3. __int64 F[]={};
  4. int C(__int64 n,__int64 m)
  5. {
  6. __int64 sum1=,sum2 =;
  7. for(__int64 i=n;i>=n-m+;--i)
  8. sum1*=i;
  9. for(__int64 i=;i<=m;++i)
  10. sum2*=i;
  11. return sum1/sum2;
  12. }
  13. int main()
  14. {
  15. F[]=;
  16. F[]=;
  17. for(__int64 i=;i<;++i)
  18. F[i]=(F[i-]+F[i-])*(i-);
  19. __int64 n, m;
  20. __int64 sum;
  21. while(cin>>n,n)
  22. {
  23. sum=;
  24. m=n/;
  25. for(__int64 i=;i<=m;++i)
  26. sum=C(n,i)*F[i]+sum;
  27. cout<<sum<<endl;
  28. }
  29. return ;
  30. }

RPG错排

下面通过这个递推关系推导通项公式:

为方便起见,设M(k)=k!N(k),(k=1,2,…,n)

则N⑴=0,N⑵=1/2

n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)

即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)

于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N⑵-N⑴]=(-1)^n/n!

因此

N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!

N⑵-N⑴=(-1)^2/2!

相加,可得

N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!

因此

M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]

可以得到

错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)

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