黄源河《左偏树的应用》——数字序列（Baltic 2004）

这道题哪里都找不到。

[问题描述]

给定一个整数序列a₁, a₂, … , a_n，求一个不下降序列b₁ ≤ b₂ ≤ … ≤ b_n，使得数列{a_i}和{b_i}的各项之差的绝对值之和 |a₁ - b₁| + |a₂ - b₂| + … + |a_n - b_n| 最小。

[数据规模] 1 ≤ n ≤ 10⁶, 0 ≤ a_i ≤ 2*10⁹

    ^{这道题很有趣，值得一做。}

    ^{我们对于这种题目，要有有效的思维方式。}

    ^{①：考虑最终的答案数列B，它能够看成是很多段相同的数段连接而成的，构成一个不下降的序列。（比如说：111 2 33333 4444 5）}

    ^{②：猜想如何获得B序列，根据B序列的性质（①），我们猜测某两个连续的区间最优的答案（规定这两段序列分别是同一个值）可以快速合并。下面来"伪"证一下猜想。两段在位置上是相邻的，设左半边的最优值为U，右半边为V，若U≤V，则两段答案可以共存。不然，则需要继续探讨：（这时两段的最优解是不能共存的，因为这不能构成一个不下降的B数列），因此需要找到一个新的答案，为B[1~n（并上）n+1~m]（其中原B[1~n]为U,原B[n+1~m]为V），先挖掘一下性质：1）B[n]<U，2）B[n+1]>V。这两点的正确性是显然的。假设我们现在已经知道B[n]应该是哪个数，那么B[n-1]我是希望尽量大的（因为B[n-1]≤B[n]＜U，U是左半段的最优解，贪心的策略就是让B[n-1]的值尽量靠近U，所以B[n-1]=B[n]才是最理想的，继续考虑B[n-2]的值，B[n-2]=B[n-1]，B[n-3]=B[n-2]……，最终得出左半段是一个值，同理右半段也是一个值，那左右是否就是同一个值呢？（不是的话这题还能怎么做呢？）假设新的答案为U1和V1，U1≤V1，若U1＜V1，则贪心的，我让U1等于V1，则答案会更优，所以U1必定等于V1。太棒了，我现在用一堆弱弱的证明解决了大部分问题，还要考虑的就是U1的求法。}

    ^{③：由于是同一个值，是否直接用中位数就好了？让人欣喜若狂的是，这是显然的（我都懒得证了）。为了编程方便，用排序后的A数组下标为floor（M/2）也是对的。}

    ^{④：可以得到这样一个算法:}

        ^{from 1 to m}

        ^{新建一个答案区间i~i,值为A[i]}

        ^{if（A[i]小于它左边区间的答案）}

            ^{合并两个区间}

            ^{获取"中位数"作为新区间的答案}

        ^endif

        ^{else    continue}

    ^{⑤：如何合并？考虑平衡树？太麻烦了，考虑用主席树或可并堆吧。主席树就是求区间第K大，几乎模板；而可并堆的做法复杂一些}

    ^{好感人，至此这道题应该就没有什么疑点了吧。}

    ^{我觉得做这道题要靠运气，很多地方要先猜到再证明，没有绝对的实力是很痛苦的，希望在不久的将来我能有绝对的实力。}

    这是黄源河大牛的题解。（简直没得比）

[初步分析]

我们先来看看两个最特殊的情况：

1. a[1]≤a[2]≤…≤a[n]，在这种情况下，显然最优解为b[i]=a[i]；
2. a[1]≥a[2]≥…≥a[n]，这时，最优解为b[i]=x，其中x是数列a的中位数。

于是我们可以初步建立起这样一个思路：

把1…n划分成m个区间：[q[1],q[2]-1]，[q[2],q[3]-1]，……，[q[m],q[m+1]-1]。每个区间对应一个解，b[q[i]] = b[q[i]+1] = … = b[q[i+1]-1] = w[i]，其中w[i] 为a[q[i]], a[q[i]+1], ... , a[q[i+1]-1] 的中位数。

显然，在上面第一种情况下m=n，q[i]=i；在第二种情况下m=1，q[1]=1。

这样的想法究竟对不对呢？应该怎样实现？

若某序列前半部分a[1], a[2], … , a[n] 的最优解为 (u,u,…,u)，后半部分a[n+1], a[n+2], ... , a[m] 的最优解为 (v,v,…,v)，那么整个序列的最优解是什么呢？若u≤v，显然整个序列的最优解为 (u,u,…,u,v,v,…,v)。否则，设整个序列的最优解为 (b[1],b[2],…,b[m])，则显然b[n]≤u（否则我们把前半部分的解 (b[1],b[2],…,b[n]) 改为 (u,u,…,u)，由题设知整个序列的解不会变坏），同理b[n+1]≥v。接下来，我们将看到下面这个事实：

对于任意一个序列a[1],a[2],…,a[n]，如果最优解为 (u,u,…,u)，那么在满足u≤u′≤b[1] 或b[n]≤u′≤u的情况下，(b[1],b[2],…,b[n]) 不会比 (u′,u′,…,u′) 更优。

我们用归纳法证明u≤u′≤b[1] 的情况，b[n]≤u′≤u的情况可以类似证明。

当n=1时，u=a[1]，命题显然成立。

当n>1时，假设对于任意长度小于n的序列命题都成立，现在证明对于长度为n的序列命题也成立。首先把 (b[1], b[2], … b[n]) 改为 (b[1], b[1], … b[1])，这一改动将不会导致解变坏，因为如果解变坏了，由归纳假设可知a[2],a[3],…,a[n]的中位数w>u，这样的话，最优解就应该为(u,u,…,u,w,w,…,w)，矛盾。然后我们再把(b[1],b[1],…,b[1])改为 (u′,u′,…,u′)，由于| a[1]- x | + | a[2]- x | + … + | a[n]- x | 的几何意义为数轴上点x到点a[1], a[2], … a[n]的距离之和，且u≤u′≤b[1]，显然点u′到各点的距离之和不会比点b[1]到各点的距离之和大，也就是说，(b[1],b[1],…,b[n]) 不会比 (v,v,…,v) 更优。（证毕）

再回到之前的论述，由于b[n]≤u，作为上述事实的结论，我们可以得知，将(b[1],b[2],…,b[n])改为(b[n],b[n],…,b[n])，再将(b[n+1],b[n+2],…,b[m])改为(b[n+1],b[n+1],…,b[n+1])，并不会使解变坏。也就是说，整个序列的最优解为(b[n],b[n],…,b[n],b[n+1],b[n+1],…,b[n+1])。再考虑一下该解的几何意义，设整个序列的中位数为w，则显然令b[n]=b[n+1]=w将得到整个序列的最优解，即最优解为 (w,w,…,w)。

分析到这里，我们一开始的想法已经有了理论依据，算法也不难构思了。

[算法描述]

延续我们一开始的思路，假设我们已经找到前k个数a[1], a[2], … , a[k] (k<n) 的最优解，得到m个区间组成的队列，对应的解为 (w[1],w[2],…,w[m])，现在要加入a[k+1]，并求出前k+1个数的最优解。首先我们把a[k+1]作为一个新区间直接加入队尾，令w[m+1]=a[k+1]，然后不断检查队尾两个区间的解w[m]和w[m+1]，如果w[m]>w[m+1]，我们需要将最后两个区间合并，并找出新区间的最优解（也就是序列a中，下标在这个新区间内的各项的中位数）。重复这个合并过程，直至w[1]≤w[2]≤…≤w[m]时结束，然后继续处理下一个数。

这个算法的正确性前面已经论证过了，现在我们需要考虑一下数据结构的选取。算法中涉及到以下两种操作：合并两个有序集以及查询某个有序集内的中位数。能较高效地支持这两种操作的数据结构有不少，一个比较明显的例子是二叉检索树(BST)，它的询问操作复杂度是O(logn)，但合并操作不甚理想，采用启发式合并，总时间复杂度为O(nlog²n)。

有没有更好的选择呢？通过进一步分析，我们发现，只有当某一区间内的中位数比后一区间内的中位数大时，合并操作才会发生，也就是说，任一区间与后面的区间合并后，该区间内的中位数不会变大。于是我们可以用最大堆来维护每个区间内的中位数，当堆中的元素大于该区间内元素的一半时，删除堆顶元素，这样堆中的元素始终为区间内较小的一半元素，堆顶元素即为该区间内的中位数。考虑到我们必须高效地完成合并操作，左偏树是一个理想的选择。左偏树的询问操作时间复杂度为O(1)，删除和合并操作时间复杂度都是O(logn)，而询问操作和合并操作少于n次，删除操作不超过n/2次（因为删除操作只会在合并两个元素个数为奇数的堆时发生），因此用左偏树实现，可以把算法的时间复杂度降为O(nlogn)。

[小结]

这道题的解题过程对我们颇有启示。在应用左偏树解题时，我们往往会觉得题目无从下手，甚至与左偏树毫无关系，但只要我们对题目深入分析，加以适当的转化，问题终究会迎刃而解。这需要我们具有敏捷的思维以及良好的题感。

用左偏树解本题，相比较于前面BST的解法，时间复杂度和编程复杂度更低，这使我们不得不感叹于左偏树的神奇威力。这不是说左偏树就一定是最好的解法，就本题来说，解法有很多种，光是可并堆的解法，就可以用多种数据结构来实现，但左偏树相对于它们，还是有一定的优势的，这将在下一章详细讨论。

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 int B[maxn];
 int q[maxn],l[maxn],r[maxn],num[maxn],dep[maxn],tot;
 int ch[maxn][],key[maxn],n;
 int Merge(int x,int y){
     if(!x||!y)return x|y;
     if(key[x]<key[y])swap(x,y);
     ch[x][]=Merge(ch[x][],y);
     if(dep[ch[x][]]>dep[ch[x][]])
         swap(ch[x][],ch[x][]);
     dep[x]=dep[ch[x][]]+;
     return x;
 }

 void Delete(int i){
     q[i]=Merge(ch[q[i]][],ch[q[i]][]);
 }

 int main(){
     dep[]=-;
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%d",&key[i]);
     for(int i=;i<=n;i++){
         q[++tot]=i;l[tot]=r[tot]=i;num[tot]=;
         while(tot!=&&key[q[tot]]<key[q[tot-]]){
             q[tot-]=Merge(q[tot],q[tot-]);
             num[tot-]+=num[tot];
             r[tot-]=r[tot];tot--;
             int sum=(r[tot]-l[tot]+)/;
             while(num[tot]>sum){
                 Delete(tot);
                 num[tot]-=;
             }
         }
     }

     for(int i=;i<=tot;i++)
         for(int j=l[i];j<=r[i];j++)
             B[j]=key[q[i]];

     int ans=;
     for(int i=;i<=n;i++)
         ans+=abs(key[i]-B[i]);
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }