SciTech-Mathmatics-Probability+Statistics:Quantifing Uncertainty_统计分析： SciTech-Mathmatics-Probability+Statistics:Quantifing Uncertainty_统计数据分析: PROBABILITY DISTRIBUTIONS(常用概率分布)

一般数学表示方法

• 概率数学表示方法

  \(\large \begin{array}{rl} \\
  \bm{X}:& 符合某种概率分布的Random\ Variable(随机变量) \\
  \bm{x}:& \bm{rnorm}, 随机变量X的一个实例, , … \\
  \bm{f}:& \bm{pdf}, \bm{dnorm}, \text{Probability Distribution Function}\ of\ \text{Random Variable }X, … \\
  \bm{F}:& \bm{cdf}, \bm{pnorm}, \text{Cumulative Density Function}\ of\ \text{Random Variable }X, … \\
  \bm{P(X=k)}:& \bm{pmd}, \text{Probability Mass Distribution} \\
  \end{array}\)

• 常用概率分布

  • Discrete(离散概率分布)

    • Discrete Uniform(离散均匀分布)
    • Bernoulli(伯努利分布)
    • Binomial(二项式分布)
    • Poisson(泊松分布)
    • Hypergeometric(超几何分布)
  • Continuous(连续概率分布)
    • Uniform(均匀分布)
    • Normal/Gaussian(正态分布)
    • Exponential(指数分布)
    • Gamma分布
    • Beta分布
    • Gumbel分布

离散概率分布

Discrete Uniform(离散均匀分布)

• Definition：每次抽样存在多种可能结果，每种结果出现的概率完全一致.
  
  即 X的 Sample Space 为 a finite set \(\large S=\{k_1, k_2, \cdots, k_n\}\),
  
  且 $\large \ P(X=k_i)=\dfrac{1}{n}, \ \forall \ i\ \in [1,\ n], \ i \in N $

• Example:

  • Roll a die(掷骰子):
    • Sample Space is a finite set: \(\large S=\{1, 2, \cdots, 6\}\)
    • ELO(Equally Likely Outcomes): $P(X=i) = \dfrac{1}{6}, \ \forall i \in {1, 2, \cdots, 6} $

• R代码:

    >>> x <- sample(c(1,2,6,8,9), 10000, prob=rep(0.2,5),replace=TRUE)
    >>> table(x)## 另一种方法：用index
    >>> idx <- runif(10000,0,5); idx <- ceiling(idx)
    >>> x <- c(1,2,6,8,9)[idx]
    >>> table(x)
  

Bernoulli(伯努利试验)

• Definition: 仅存在两种可能结果的一次 experiment

• Example:

  • Toss a coin(扔硬币) ONE TIME: H(Head, 正面朝上)，T(Tail, 反面朝上)
    
    \(P(X=H) = \pi, \ \ P(X=T) = 1- \pi\)

• R代码:

    >>>进行1000次伯努利试验
    >>> outcome <- sample(c(“T”,”F”), 1000, prob=c(0.8, 0.2), replace=TRUE)
    >>> ot <- table(outcome)
    >>> ot <- ot/sum(ot)
  

Binomial

• Definition:

  • 重复 n次独立 Bernoulli 的 概率分布就是Binomial(二项式)分布:
    • Sample Space 为 \(\large {1, 0}\),
    • 出现 \(\large 1\) 的概率是 \(\large p\),
    • \(\large n\) 次结果有 \(\large X\) 次的 \(\large 1\),
    • \(\large X\) 的可能取值范围是 $\large [1,\ n] \ of \ N $

• Notation: 记作 \(\large X \sim B(n,p)\)

• p.f. of \(\large Binomial\):
  
  \(\large P(X)= C_n^X \pi^X (1－\pi)^{n-X})\)
  
  \(\large C_n^X = \dfrac{n! }{(n-X)! X!}\)

• 图形特征

  • \(\large \pi\)接近 \(\large 0.5\) 时,图形是对称的;
  • \(\large \pi\)离 \(\large 0.5\) 愈远,对称性愈差, 但随 \(\large n\) 的增大, 分布趋于对称.
  • 当 n→∞ 时,只要 \(\large \pi\) 不太靠近 \(\large 0\) 或\(\large 1\),
    
    当 \(\large nP\) 和 \(\large n(1-P)\) 都大于 \(\large 5\) 时, 二项分布 近似于 正态分布
  • 二项分布的图形取决于 \(\large \pi\) 与 \(\large n\) ,高峰在 \(\large \mu = n \pi\) 处

• \(\large Binomial\) 示例1
  
  一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球，我们进行有放回的摸球游戏。
  
  因此每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6。
  
  这个实验有三个特点：

  1. 各次摸球是彼此独立的；每次摸球只有二种可能的结果，或黄或白；
  2. 重复进行至无穷次的相互独立试验。
  3. 每次摸到黄球(或摸到白球)的概率是固定的。

  具备这三点后， n次有X次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布。

• Application:
  
  医学研究上的应用医学研究，很多现象的观察结果是以两分类变量来表示的，
  
  如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死亡等等。
  
  如果:

  • 每个观察对象, Positive结果概率均为 \(\large \pi\)，Negative结果概率均为 \(\large (1－\pi)\)；
  • 而且各个观察对象的结果是相互独立的，
  • 重复观察 n个人，

  发生Positive结果的人数X的概率分布为二项分布，记作\(\large B(X; n,\pi)\).