【忍者算法】从图书馆编目到数组搜索：探索缺失的第一个正整数｜LeetCode 41 缺失的第一个正整数

从图书馆编目到数组搜索：探索缺失的第一个正整数

生活中的算法

想象你是一位图书馆管理员，正在整理一排连续编号的图书。这些书应该从1号开始按顺序排列，但是有些编号的书不见了。你的任务是找出第一个缺失的编号。这就像是在做点名，发现第一个没来上课的同学。

这个场景在生活中很常见。比如：

• 餐厅服务员查看哪个桌号是第一个空位
• 停车场管理员寻找第一个空闲的车位号
• 学校给新生分配第一个未使用的学号
• 医院为病人安排第一个可用的就诊序号

问题描述

LeetCode第41题"缺失的第一个正整数"是这样描述的：给你一个未排序的整数数组 nums，请你找出其中没有出现的最小的正整数。请你实现时间复杂度为 O(n) 并且只使用常数级别额外空间的解决方案。

例如：

输入：nums = [3,4,-1,1]
输出：2
解释：数组中有1，3，4，所以第一个缺失的正整数是2。

输入：nums = [7,8,9,11,12]
输出：1
解释：数组中没有1，所以缺失的第一个正整数是1。

最直观的解法：排序后遍历

就像整理图书时，先把所有的书按编号排好序，然后从1开始检查，看哪个编号最先空缺。

让我们用一个简单的例子来理解：

原数组：[3,1,4,-1]
1. 先排序（只考虑正数）：[1,3,4]
2. 从1开始检查：
   - 1存在
   - 2不存在，找到答案！

优化解法：原地标记

仔细思考会发现一个关键点：如果数组长度为n，那么答案一定在[1, n+1]范围内。就像有10个学生的班级，第一个缺席的学号最大不会超过11。

我们可以把数组本身作为标记板，把每个数放到它应该在的位置上（就像把每本书放到对应的编号位置）。

原地标记的原理

1. 把每个在[1,n]范围内的数x放到索引x-1的位置
2. 再次遍历，第一个不在对应位置的数就指示了缺失的最小正整数
   
   这就像是：

• 先把每本书放到它编号对应的书架位置
• 然后从1号位置开始检查，找到第一个空位置

示例演示

用nums = [3,4,-1,1]来说明：

1. 开始移动元素：
   [3,4,-1,1] 把3放到索引2
   [3,4,3,1] 把4放到索引3
   [3,1,3,4] 把1放到索引0
   [1,3,3,4]

2. 再次遍历，检查每个位置：
   位置0：期望1，实际1，正确
   位置1：期望2，实际3，找到答案2！

Java代码实现

public int firstMissingPositive(int[] nums) {
    int n = nums.length;

    // 第一遍遍历：把每个数放到它应该在的位置
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 当前数在有效范围内，且不在正确位置上
        while (nums[i] > 0 && nums[i] <= n && nums[i] != nums[nums[i] - 1]) {
            // 交换到正确位置
            int temp = nums[nums[i] - 1];
            nums[nums[i] - 1] = nums[i];
            nums[i] = temp;
        }
    }

    // 第二遍遍历：找出第一个不在正确位置上的数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (nums[i] != i + 1) {
            return i + 1;
        }
    }

    // 如果都正确，返回n+1
    return n + 1;
}

解法比较

让我们比较这两种方法：

排序后遍历：

• 时间复杂度：O(nlogn)
• 空间复杂度：O(1)
• 优点：思路直观，易于理解
• 缺点：不满足时间复杂度要求

原地标记：

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)
• 优点：满足所有要求，不需要额外空间
• 缺点：实现略微复杂，需要仔细处理边界情况

解题技巧总结

这道题给我们的启示：

1. 思考数据的取值范围很重要
2. 有时候可以把数组本身当作标记数组使用
3. 位置和值的对应关系常常能带来灵感
4. 不要害怕修改原数组，有时这是提高效率的关键

类似的问题还有：

• 数组中重复的数字
• 找到所有数组中消失的数字
• 寻找重复数

小结

通过缺失的第一个正整数这道题，我们学会了一个重要的思维方式：有时候看似需要额外空间的问题，可以通过巧妙利用输入数组本身来解决。这种思维不仅在这道题中有用，在处理其他需要标记或计数的问题时也很有启发。记住，当遇到需要找寻特定范围内缺失数字的问题时，考虑能否利用数组本身来存储信息！

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作者：忍者算法

公众号：忍者算法

完整题解项目 ：https://github.com/ninjaAlgorithm/LeetCode-Solutions-Hot-100