【做题】CF1045(ABH)

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题目当然不会做完了，这里只讲有做&会做的。

A. Last chance

题意：有\(n\)个敌方飞船，己方有\(m\)个武器，有以下三种类型：

• 能攻击编号属于一个大小为\(k_i\)的集合的所有飞船。
• 能攻击编号在\([l_i,r_i]\)区间内的所有飞船。
• 能攻击三个飞船，编号分别为\(a_i,b_i,c_i\)。

其中，前两种类型的武器每个只能攻击\(1\)个飞船，第三种每个只能使用\(0\)次或\(2\)次。

特别性质：每个飞船最多会被一个第三种武器纳入攻击范围。

在每个飞船只能被攻击一次的情况下，问最多能攻击到多少个飞船，并输出方案。

\(n,m \leq 5000, \, \sum{k_i} \leq 10^5\)

容易想到，本题是个最大流。

那么，第一种武器可以暴力连边，第二种武器可以线段树优化建图，问题就在于第三种武器，只能使用\(0\)次或\(2\)次。

接下来当然要考虑特殊性质。考虑每个被同一个第三种武器锁定的三元组，它们其中只要有一个被前两种武器攻击，就可以全部被攻击；否则也能有两个被攻击。换言之，不考虑第三种武器，每个三元组最多被攻击一次。因此，我们每个三元组建一个辅助点让它们的流量和小于等于\(1\)，就相当于是把第三种武器处理掉了。统计答案时再加上第三种武器的贡献就可以了。

那么，点数、边数就是\(O(n \log n)\)的了。

最后输出方案，一个好写的方法是类似于找增广路，把已有的流量一条条退回去就好了。

B. Space Isaac

在模\(m\)的意义下，给出一个大小为\(n\)的集合\(A\)。询问任取两个元素，一个在这个集合里，一个不在，相加所不能得到的数有那些。

\(n \leq 2 \times 10^5, \, m \leq 10^9\)

考虑一个数\(x\)如果不能得到，那么对于所有\(y \in A\)，一定有\(x - y \in A\)。那么，我们把所有数按0/1表示它在不在集合\(A\)中，得到的一个0/1无限序列一定关于\(x\)对称。当然，对称只用看\(m\)位就可以了。因此，我们枚举这\(m\)位最左端的\(1\)是\(A\)中的哪一个元素，最右端的\(1\)也就确定了，然后用字符串哈希判断字符串是否回文就好了。

时间复杂度\(O(n)\)。

H. Self-exploration

求在\([l,r]\)区间内有多少数满足在二进制下：

• 子串\(00\)的个数为\(C_{00}\)。
• 子串\(01\)的个数为\(C_{01}\)。
• 子串\(10\)的个数为\(C_{10}\)。
• 子串\(11\)的个数为\(C_{11}\)。

答案对\(10^9 + 7\)取模。

\(l,r \leq 2^{10^5}\)

首先，我们容易得到所有满足条件的数二进制下的长度。

考虑没有\([l,r]\)的限制的情况。整个0/1序列就是很多段连续全0或全1的序列，而通过\(C_{01},C_{10}\)这两个常数，我们可以计算得到，全0的序列有多少个，全1的序列又有多少个。然后，我们也能得到一共有多少个0和1。于是问题就变成了把若干个1分到若干个全1序列中，若干个0分到若干个全0序列中，这可以用插板法来求。

而存在\([l,r]\)的限制的情况下，我们先把限制转化为\([0,r)\)的类型，然后枚举前面有多少位是相同的。也就是说，我们计算的二进制数小于\(r\)的情况下，它们不同的最高一位，一定是在\(r\)为\(1\)的位置上填了\(0\)。之后就可以忽略\(r\)的限制了。因此，我们枚举最高的不同的一位就好了。

时间复杂度\(O(\log r)\)。

小结：这三道题都是可以自己想出来的，但在比赛时还是被BH卡住了。实际上B题对答案有分析就好了，H题在于不能粗暴往数位dp的方向去想。