Codeforces 1038D - Slime - [思维题][DP]

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/1038/D

题意：

给出 $n$ 个史莱姆，每个史莱姆有一个价值 $a[i]$，一个史莱姆可以吃掉相邻的史莱姆，此时其自身的价值就要减掉被吃掉的那个史莱姆的价值。

史莱姆会不断的互相吞噬直到最后只剩一个，要求你该史莱姆可能的最大价值。

题解：

相当于你在 $n$ 个数前面添加 $+$ 或者 $-$，然后拼成一个算式计算答案。

首先考虑到的是，史莱姆的价值是全正或者全负的情况，这样的话，不可能使得所有价值前都添上 $+$ 或者都添上 $-$，这个特判处理一下就好。

其次，就是有正有负的情况：

　　首先，若仅有一个史莱姆身怀正价值，所以在它前面添上 $+$，其余所有史莱姆前面都添上 $-$，此时价值最大化；显然这是可行的，只要“正史莱姆”不停地吃掉相邻的所有“负史莱姆”即可。

　　其次，若此时有两个“正史莱姆”，其余全是“负史莱姆”，那么通过一系列吞噬必然能够变成如下两种情况之一：

　　　　“负史莱姆，正史莱姆，正史莱姆”：这种情况，要让两个正史莱姆的价值前面都是 $+$ 号，负史莱姆前面是个 $-$ 号，只需要让 $1$ 吃掉 $2$，再让 $3$ 吃掉 $1$ 即可。

　　　　“正史莱姆，负史莱姆，正史莱姆”：这种情况，只需要让 $2$ 吃掉 $3$，再让 $1$ 吃掉 $2$ 即可。

　　这样一来，两个正史莱姆的情况就能转化到一个正史莱姆的情况，以此类推，不难发现，三个正史莱姆可以转化到两个正史莱姆，……，$n$ 个正史莱姆可以转化到 $n-1$ 个正史莱姆。

所以，对于有正有负的情况，可以在所有正史莱姆前添 $+$ 号，所有负史莱姆前添 $-$ 号，即把所有史莱姆的价值的绝对值相加。因为不管怎么样，总有一个对应的吃法可以做到这样。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e5+;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n;
ll a[maxn];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio();
    cin.tie(), cout.tie();

    cin>>n;
    ll mx=-INF, mn=INF, sum=;
    for(int i=;i<=n;i++)
        cin>>a[i], sum+=abs(a[i]), mx=max(mx,a[i]), mn=min(mn,a[i]);

    if(n==) {cout<<a[]<<endl;return ;}

    if(mx<) //全负
        cout<<sum+*mx<<endl;
    else if(mn>) //全正
        cout<<sum-*mn<<endl;
    else
        cout<<sum<<endl;
}

题解2：

当然，我们也可以不特判全正全负的情况，因为我们现在已经知道了，只要你确保既添加了 $+$ 号也添加了 $-$ 号，不管添加的正负号序列是怎么样的，都是通过某种吞吃方法来做到的。

所以我们可以用 $dp[i][x=0,1][y=0,1]$ 来表示，前 $i$ 个的最大值，$x$ 记录是否已经添加过 $+$ 号，$y$ 记录是否已经添加过 $-$ 号。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e5+;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n;
ll a[maxn],dp[maxn][][];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio();
    cin.tie(), cout.tie();

    cin>>n;
    for(int i=;i<=n;i++) cin>>a[i];

    if(n==) {cout<<a[]<<endl;return ;}

    dp[][][]=a[], dp[][][]=-a[];
    dp[][][]=dp[][][]=-INF;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        dp[i][][]=dp[i-][][]+a[i];
        dp[i][][]=dp[i-][][]-a[i];

        dp[i][][]=-INF;
        dp[i][][]=max(dp[i][][],dp[i-][][]+a[i]);
        dp[i][][]=max(dp[i][][],dp[i-][][]-a[i]);
        dp[i][][]=max(dp[i][][],dp[i-][][]+abs(a[i]));
    }

    cout<<dp[n][][]<<endl;
}