HKE和他的小朋友（矩乘快速幂）

题面：

题目背景:

HKE带着 $ n $ 个小朋友做游戏

题目描述:

现在有n个座位编号为 $ 1 $ 至 $ n $ ，这些小朋友也编号 $ 1 $ 至 $ n $ 。一开始所有小朋友都坐在相应的座位上。HKE的游戏可用一个n的排列 $ A(A_1,A_2\cdots A_n $ )表示。一轮游戏时，对于所有的 $ 1\leq i\leq n $ ，坐在位置 $ i $ 上的小朋友坐到位置 $ A_i $ 上。

现在游戏进行了 $ k $ 轮，HKE想知道游戏结束后，位置 $ 1,2\cdots n $ 分别坐了几号小朋友？

输入格式：

第一行 $ n,k $ 。

第二行 $ A_1,A_2\cdots A_n $

输出格式：

一行n个数表示 k 轮游戏后坐在位置 $ 1,2……n $ 上的小朋友的编号

输入样例#1：

5 5
2 3 1 5 4

输出样例#1：

2 3 1 5 4

输入样例#2：

5 4
2 3 1 5 4

输出样例#2：

3 1 2 4 5

数据范围：

30%的数据， $ n\leq1000 $ ， $ k\leq1000 $

100%的数据， $ n\leq100000 $ ， $ k\leq2^{31}-1 $

本题 $ solution $ :

首先请允许我奶一波：本题出的是真的好！

某蒟蒻心路历程：

小文：这不是矩阵快速幂裸题吗？！！

题面：矩阵快速幂复杂度 $ n^3 $ OK?

小文：那就降到二维 $ n^2 $ 优化麻！！！

题面：.... $ n\leq100000 $ ，are you sure？

小文：我 &% $ &#%&#% ！！！！！！！

于是乎让我再仔细看看题目吧：

解 1 ：跑图论求环

我们（在脑海里）建一个图，将第 i 步的结果与第 i+1 步的结果用一条边连起来，跑一遍你会发现这是一个环（即你不断转换下去会回到你的初始状态。所以你将 k mod 一下环的大小（ $ \leq n $ ）然后跑一遍图即可。（稍稍维护一下复杂度）

这对蒟蒻来说太难了，于是就没有代码实现了

解 2 ：快速幂

这题其实不存在矩阵成分（有启发效果），重点在与快速幂和你的转移过程。

原理：

1.转移的结合律：

下文中但凡以 2 3 1 5 4（一个栗子）为标准转移，2 3 1 5 4 分别表示 $ A_1 $ $ A_2 $ $ A_3 $ $ .... $ $ A_5 $ ：

转移的实现：

inline void ans(){ //给ans数组转换
	for(rg i=1;i<=n;++i) c[i]=a[i];
	for(rg i=1;i<=n;++i) a[b[i]]=c[i];
}

对于一个以 2 3 1 5 4 为标准的转移，我们若转移两次，就相当于进行一次以 3 1 2 4 5 为标准的转移（不信试试）；而我们若转移 3 次，就相当于先进行一次以 3 1 2 4 5 为标准的转移在进行一次以 2 3 1 5 4 为标准的转移。这说明小朋友换位置具有结合律，这是我们快速幂的基础。

而 3 1 2 4 5 是可以通过 2 3 1 5 4 推出来的（类似矩阵乘法）：

$ \begin{vmatrix}2 &3&1&4&5\\2&3&1&4&5\|&|&|&|&|\\3&1&2&4&5\end{vmatrix} $ $

看的出怎么推吗：先讲一下 3 是如何来的：

首先 3 的意义表示 1 号小朋友在转移两次后在 3 号位置。所以我们看到 1 号小朋友第一轮转换时要转换到 2 号位置，而第二轮转换时 2 号位置的人要转换到 3 号位置，所以就相当于一号小朋友在转移两次后要在 3 号位置。 1 2 4 5 也是这样得来的：实现：

inline void base(){ //给bese数组转换
	for(rg i=1;i<=n;++i) c[i]=b[i];
	for(rg i=1;i<=n;++i) b[i]=c[c[i]];
}

而此时如果我们需要以2 3 1 4 5为标准转移 4 次，就可以直接以 3 1 2 4 5为标准转移两次即可。同样我们还可以用 3 1 2 4 5来推出一个序列，以次序列为标准转移就能直接得到以2 3 1 4 5转移 4 次的结果。

然后直接快速幂求解即可！

代码实现：

以某一转换序列来推出下一个转换序列，我们用base函数实现。

以某一序列为标准转移，我们用ans函数实现。（这两个不一样！！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#define rg register int

using namespace std;

int n,k;
int b[100001];// base
int a[100001];// answer
int c[100001];// 借来转换赋值

inline int qr(){ char ch; // 快读
	while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
	int res=ch^48;
	while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
		res=res*10+(ch^48);
	return res;
}

inline void ans(){ //给ans数组转换
	for(rg i=1;i<=n;++i) c[i]=a[i];
	for(rg i=1;i<=n;++i) a[b[i]]=c[i];//重点1
}

inline void base(){ //给bese数组转换
	for(rg i=1;i<=n;++i) c[i]=b[i];
	for(rg i=1;i<=n;++i) b[i]=c[c[i]];//重点2
}

int main(){
	n=qr();k=qr();
	for(rg i=1;i<=n;++i)
		b[i]=qr(),a[i]=i;//赋初值
	while(k){
		if(k&1)ans();
		base();k>>=1;
	}// 快速幂
	for(rg i=1;i<=n;++i)
		printf("%d ",a[i]);//输出ans
	return 0;
}

本题重在理解，码量其实不高（除去快读等....

$ O_{(n\log{n})} $ 的复杂度加上码量还是很优秀的。

注：题目来源：华南师范大学附属中学，洛谷Noip热身赛