NOI题库 1768最大子矩阵 题解

NOI题库 1768最大子矩阵  题解

 

 

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描述

 

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。

比如，如下4 * 4的矩阵

 

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

 

的最大子矩阵是

 

9 2

-4 1

-1 8

 

这个子矩阵的大小是15。

 

输入

 

输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。

 

输出

 

输出最大子矩阵的大小。

 

样例输入

4

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

 

样例输出

15

 

 

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分析

最初看到这道题时，我完全不知道怎么DP，只能想到暴力算法，这道题的最暴力想法就是枚举，但是这个想法的时间复杂度达到O(N^4),当数据较大时无法承受，经大神指点得知，可以使用动态规划解决这个问题。那么，怎么用动态规划呢？

最初学DP时，有一个求最大子段和的问题，可以通过DP解决，最大子矩阵只是最大子段和在二维中的扩展，为了能继续使用这种方法，我们需要将这个矩阵降维处理，降维操作如下图：

 

这是样例中4*4的矩阵，红色框中是进行降维操作的矩阵

 

 

 降维的操作很简单，只需要将同一列的加和，就能得到目标序列，我们可以使用前缀和思想来优化这个操作。

 

通过这个操作可以将二维矩阵降维，随后就可以用区间DP的方法解决这个最大子矩阵的问题。

 

代码如下：

 #include "cstdio"
 #include "cstring"
 #include "algorithm"
 #include "cmath"
 using namespace std ;

 int gmax( int a , int b)//求最大值
 {
     return a > b ? a : b ;
 }

 int best[], temp[];

 int tmp[][], pr[][];

 void Init ( int n )
 {
     for( int i =  ; i <= n ; ++i )pr[][i] = tmp[][i] ;//pr[]数组用前缀和思想
     for(int i =  ; i <= n ; ++i )
         for (int j =  ; j <= n ; ++j )
             pr[i][j] = pr[i - ][j] + tmp[i][j] ;//计算前缀和
     return ;
 }

 int solve ( int *a , int N)
 {

     memset ( best ,  , sizeof(best));//best数组表示以i为结尾的最大子序列和
     int ans = - ;
     for ( int i =  ; i <= N ; ++i)
     {
         if ( best[i - ] + a[i] > a[i])
         {
             best[i] = best[i - ] + a[i] ;//DP方程
         }
         else
         {
             best[i] = a[i] ;//DP方程
         }
     }
     for ( int i =  ; i <= N ; ++i )ans = gmax( ans , best[i]);//求出best数组中的最大值，即最大子序列和
     return ans ;
 }

 int main ( )
 {
     int ans = - , n;
     scanf("%d", &n);
     for(int i =  ; i <= n ; ++i )
     {
         for (int j =  ; j <= n ; ++j )
         {
             scanf("%d", &tmp[i][j]);
         }
     }
     Init ( n );//预处理
     for ( int i =  ; i <= n ; ++i)
     {
         for ( int j = i ; j <= n ; ++j )
         {
             memset( temp ,  , sizeof(temp));
             for ( int k =  ; k <= n ; ++k )
             {
                 temp[k] = pr[j][k] - pr[i - ][k];//temp数组是降维后的数组
             }
             ans = gmax(solve ( temp , n) , ans );//求出最大值
         }
     }
     printf("%d\n", ans);
     return  ;
 }

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（完）