vijos P1009清帝之惑之康熙

</pre>背景康熙是中国历史乃至世界历史中最伟大的帝王之一，清除螯拜，撤除三藩，统一台湾，平定准葛尔叛乱；与此同时，出众的他也被世界各国遣清使臣所折服。康熙是历史上少有的全人，不仅文武兼得，而且在各各方面都有见地，比如说航海、数学、英语、构图、建筑等等。一个最好的例子可以证明：康熙当年演算代数题的草稿纸至今仍然保存完好。话说康熙掌权之后，每天都抽空做数学题，特别是无聊题。这些天，某某老师开始教他做一些奇怪的题目。在第一节课的时候，老师就问了康熙一个超BT的题目：描述话说西汉时期，汉武帝刘彻派遣张骞出使西域，欲同月氏国结交而共驱匈奴。同时，月氏国也欲同大汉结交，也派出使者康破伦出使大汉，可是因为月氏国对于大汉的认知甚少，康破伦同样向西出使大汉。一开始，张骞从大汉出发，康破伦从月氏国出发，两人都在同一纬度线上，张骞所处的经度为x，康破伦所处的经度为y；接下来，两人同时向西走，而且只能向西走，张骞每天走m公里，康破伦每天走n公里，且每天走路的速度不变，也不停下来休息；这样两人就在这一条长为L的纬度线上一直向西走。问：过了多少天之后张骞和康破伦会碰面，并磋商两国结交之事（所谓碰面，是指两人处在同一经度上）。这下，康熙犯难了，他还是个不大的青年，怎么可能做得出这么难的题目；但是，他又是统领全国的帝皇，怎么能在老师面前丢这么大一个面子。康熙想：不行！一定得把这个题做出来！（然后就有了下面这段记录）第一天，……第二天，…………第三天，………………第四天，……………………第五天，…………………………第六天，………………………………第七天，……………………………………！！！！！！！啊！第七天，康熙终于打了7个感叹号，得出了一个重要的结论！！！！！那就是——做不出来。（汗），没办法，他只有请教你，他的挚友，帮他解决这一难题。康熙答应你，如果你把这一题做出来了，你将得到御赐赏银一万万mod1两！$$$$$$$$-$$$$$$$$。为了改变你生活的现状——衣衫褴褛、闻鼠起舞、蟑螂为伴，你下定了决心——我一定得把这题解决！格式输入格式输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L<p>其中0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000。</p><p></p>输出格式<p>输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"。</p><p></p><p></p><p><span style="font-family:SimHei;"><span style="white-space:pre">	</span>解:这道题不难,虽然一开始没做对.这道题叙述的非常不好,众所周知,许多acm题都是穿着马甲,而它的内容,本质是一种结构,一种过程.</span></p><p><span style="font-family:SimHei;">这道题的马甲非常差劲,既然是两个人,他们当然是连续的行走,而不是一跳一跳的,像青蛙一样.北大OJ上面的"青蛙约会"那道题跟此题一样,但是人家那马甲就漂亮得多了.</span></p><p><span style="font-family:SimHei;">当然,看透马甲是一种本事,要善于找出杂乱之中的规律.这道题还可以这样描述:一个青蛙,在长为Length的赤道上,它每次只能向前跳dv这么远.现在他想到达他面前的dx处,为此,他不得不绕着赤道跳很多圈,最终有可能到达目的地.</span></p><p><span style="font-family:SimHei;">第一步:化简问题:转化成追击问题,求出来二者的dv和dx.这两个数都是正整数,求起来需要分类讨论,这是第一个难关.</span></p><p><span style="font-family:SimHei;">第二步:列出方程,其实是模线性方程:k*dv-p*length=dx.这里面k,p都是正数.表示追了k天之后,绕了地球p圈,才追上.</span></p><p><span style="font-family:SimHei;">第三步:用扩展欧几里得算法解方程,刘汝佳书上的扩展欧几里得写的非常精炼,一般人写不出来,其中巧妙之处在于通过传递引用参数交换两个数的位置.</span></p><p><span style="font-family:SimHei;">第四步:求出来k和p之后,如果dx不能整除dv和length的最大公约数d,那就说明Impossible</span></p><p><span style="font-family:SimHei;">第五步:否则,肯定能追上, 需要对k做一些工作.如果k>0,那就太好了;如果k<0,那就k+=length.这样一来k就变成正数了.实际上:</span></p><p><span style="font-family:SimHei;"><span style="white-space:pre">	</span> k*dv+p*length=dx          等价于(k*dv)%length=dx;</span></p><p><span style="font-family:SimHei;">        [(k+length)*dv]%length=dx;</span></p><p><span style="font-family:SimHei;"><span style="white-space:pre">	</span>把k变成正数之后,还要做一次乘法:dx/d,表示要走多少个周期,所以k*=(dx/d);</span></p><p><span style="font-family:SimHei;"><span style="white-space:pre">	</span>这样还没有完,因为length和dv的最大公约数是d,所以最多到达length/d个点,最多走length/d步.所以最终结果是k%(length/d);</span></p><p></p><p></p><p></p><pre name="code" class="cpp">#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
void gcd(int a,int b,int &d,int&x,int &y){
	if (b == 0){
		d = a;
		x = 1;
		y = 0;
	}else{
		gcd(b, a%b, d, y, x);
		y -= x*(a / b);
	}
}

int main(){
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	int x1, x2, v1, v2,len;
	cin >> x1 >> x2 >> v1 >> v2 >> len;
	int dx, dv;
	v1 %= len;
	v2 %= len;
	x1 %= len;
	x2 %= len;
	if (v1 < v2){
		swap(v1, v2);
		swap(x1, x2);
	}
	dv = v1 - v2;
	if (x1<x2){
		dx = x2  - x1;
	}
	else{
		dx = x2+len-x1;
	}
	int d, k,p;
	gcd(dv,len, d,k,p);
	if (dx%d){
		cout << "Impossible" << endl;
	}
	else{
		dv /= d;
		len /= d;
		if (k > 0){
			cout << (dx*k / d)%len << endl;
		}
		else{
			cout << ((len + k)*dx / d)%len << endl;
		}
	}
	return 0;
}