关于求解不定方程的n(n-1)=2m(m-1)的解法的总结

主要参考下面两篇论文

1、《不定方程x(x-1)=Dy(y-1)的解法》

2、《用递推公式求一个不定方程的正整数解》

原有题目意思是

记得有一次全班去唱K, 其中有个活动是情歌对唱. 具体操作流程是这样的:
准备好 21 个阄(我们班 15 男 6 女), 其中只有两个是有标记的, 每人随意抓取一个, 最后取到有标记的阄的两个人去点首情歌对唱.
旁边一哥们儿幽幽地对我说, 看来搅基真是神的安排啊, 你看我们班的男女人数, 搅基的几率 C(15,2)/C(21,2) 刚好是 1/2.
给跪了, 这哥们儿对数字太敏感了, 简直是拉马努金转世啊. 不过我随之想到一个问题: (21, 15) 真的是神的唯一安排吗? 其实不是的,
神还有很多类似的安排. 比如 (4, 3), 显然 C(4,2)/C(3,2) 也等于 1/2, 当然还有 (120, 85) 等等等等.
神的安排太多太多了, 如果我们定义 (n, m) 是一个安排(其中 1 < m < n), 而如果 C(m,2)/C(n,2) = 1/2, 它就是神的安排.
现在的问题是, 给你一个不大于 10^9 的正整数 N, 有多少组神的安排 (n, m) 满足 n <= N 呢?

解题思路：

对C(m,2)/C(n,2) = 1/2 进行化简得到的为n(n-1) = 2m(m-1)，求出n<=N的整数解的个数。

将方程两边同时乘以4得到:4n(n-1) = 8m(m-1)，将其配方得到：(2n-1)² =2(2m-1)²-1，令X=2n-1，Y=2m-1

则得到方程：X²-2Y²=-1  满足佩尔方程：x²-Dy²=Q，根据上面两篇论文，可以知道不定方程的解为

X+Y√2 = ±(1+√2)²ⁿ⁺¹，n = 0,±1,±2,±3,………

方程X²-2Y²=-1 满足x > 1,y>1的整数解可以用递推公式表示即

x₁=7,y₁=5,

x_k+1=2x_k+4y_k,                     其中k=1,2,3............

y_k+1=2x_k+3y_k

注意最后要去掉(1,1)及所有的偶数解（因为X=2n-1，Y=2m-1，X,Y必须是奇数）

python版的源代码为:

N=100
cnt = 0
x,y=1,1
while x<= 2*N-1:
    x,y=3*x+4*y,2*x+3*y
    if x > 2*N-1:
        break
    if x%2 and y%2:
        cnt +=1
print cnt