线性同余同余方程组解法（excrt）

【问题描述】

求关于 x 的同余方程组

x%a 1 =b 1  a1=b1

x%a 2 =b 2  a2=b2

x%a 3 =b 3  a3=b3

x%a 4 =b 4  a4=b4

的大于等于 0 的最小整数解。

【输入格式】

一行 8 个整数,表示a 1 ,b 1 ,a 2 ,b 2 ,a 3 ,b 3 ,a 4 ,b 4  a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4 。

【输出格式】

一行一个整数,答案除以 p 的余数。

【样例输入】

2 0 3 1 5 0 7 3

【样例输出】

10

【数据规模和约定】

对于 30% 的数据,a i  ai ≤ 40, 保证 a i  ai 均为素数。

对于 60% 的数据,1≤a i ≤10 3  1≤ai≤103 , 保证a i  ai 均互素。

对于 100% 的数据,0≤b i <a i ,1≤a i ≤10 3  0≤bi<ai,1≤ai≤103 。

【限制】

时间：1S

内存: 256M

/**********************一般模线性方程组***********************/

同样是求这个东西。。
X mod m1=r1
X mod m2=r2
...
...
...
X mod mn=rn

首先，我们看两个式子的情况
X mod m1=r1……………………………………………………………(1)
X mod m2=r2……………………………………………………………(2)
则有 
X=m1*k1+r1………………………………………………………………(*)
X=m2*k2+r2
那么 m1*k1+r1=m2*k2+r2
整理，得
m1*k1-m2*k2=r2-r1
令(a,b,x,y,m)=(m1,m2,k1,k2,r2-r1)，原式变成
ax+by=m
熟悉吧？

此时，因为GCD(a,b)=1不一定成立，GCD(a,b) | m 也就不一定成立。所以应该先判 若 GCD(a,b) | m 不成立，则！！！方程无解！！！。
否则，继续往下。

解出(x,y)，将k1=x反代回（*），得到X。
于是X就是这两个方程的一个特解，通解就是 X'=X+k*LCM(m1,m2)
这个式子再一变形，得 X' mod LCM(m1,m2)=X
这个方程一出来，说明我们实现了(1)(2)两个方程的合并。
令 M=LCM(m1,m2)，R=r2-r1
就可将合并后的方程记为 X mod M = R。

然后，扩展到n个方程。
用合并后的方程再来和其他的方程按这样的方式进行合并，最后就能只剩下一个方程 X mod M=R，其中 M=LCM(m1,m2,...,mn)。
那么，X便是原模线性方程组的一个特解，通解为 X'=X+k*M。

如果，要得到X的最小正整数解，就还是原来那个方法：

X%=M;
if (X<0) X+=M;

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 using namespace std;
 const int MAXN=;
 const int n=;
 inline void read(int &n)
 {
     char c=getchar();bool flag=;n=;
     while(c<''||c>'')    c=='-'?flag=,c=getchar():c=getchar();
     while(c>=''&&c<='')    n=n*+c-,c=getchar();flag==?n=-n:n=n;
 }
 int a[MAXN],b[MAXN];
 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 {
     if(b==)
     {    x=,y=;return a;    }
     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
     int tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y;
     return r;
 }
 int x,y;
 int gcd(int a,int b)
 {
     return b==?a:gcd(b,a%b);
 }
 int lcm(int a,int b)
 {
     return a*b/(gcd(a,b));
 }
 inline int WORK()
 {
     /*
         x+a1*y1=b1   1
         x+a2*y2=b2   2
         x+a3*y3=b3   3
         求这个方程的解x
     */
     int M=a[],R=b[],x,y;
     // M=LCM(a1,a2)
     // R=bi-b1
     for(int i=;i<=n;i++)
     {

         /*
         a1*y1-a2*y2=b2-b1
         a*x  +b*y  =gcd(a,b)
         这样求出y1之后
         带回得到对于1,2两个方程的解x0=b1-y1*a1
         */
         int r=exgcd(M,a[i],x,y);
         if( (R-b[i])%r!=)    return -;
         /*   R-b[i]相当于b2-b1
              方程有解的条件(b2-b1)%gcd(a,b) ==0 */

         x=(R-b[i])/r*x%a[i];//**** 

         R=R-x*M;//x0=b1-y1*a1
         M=M/r*a[i];// 新的模数
         R=R%M;//R=X mod M
     }
     return (R%M+M)%M;
 }
 int main()
 {

     for(int i=;i<=n;i++)
         read(a[i]),read(b[i]);
     printf("%d",WORK());
     return ;
 }