ACDream - Power Sum

先上题目：

Power Sum

Time Limit: 20000/10000MS (Java/Others) Memory Limit: 128000/64000KB (Java/Others)

SubmitStatus

Problem Description

给出n,m,p，求 (1^m + 2^m + 3^m + 4^m + ... + n^m) % p

Input

第一行一个数T( <= 10),表示数据总数

然后每行给出3个数n,m,p(1 <= n <= m <= 10^18, 1 <= p <= 10^6, p是质数

Output

每组数据输出你求得的结果

Sample Input

2
1 1 11
3 2 11

Sample Output

1
3

Hint

i^m即求 i * i * i * i * i... * i(m个i)，比如2^3即2 * 2 * 2 

 

　　分析，首先n很大，但是这个求和需要模p,所以我们可以考虑将求和范围压缩在0~p-1中间，然后求出结果以后乘上倍数再加上剩余部分就可以了。但是这样时间复杂度还会是很大。这里还可以用欧拉定理来优化。

　　n,a为正整数，且n,a互质，则:　　　　

 

　　

　　

 

　　因为这里我们已经已经将求和范围压缩在0~p-1里面了，同时因为p是一个质数，所以我们知道1~p-1的数都符合上述的公式。对于求次幂，我们可以用快速幂，这样问题就基本解决了。这就是标准解法。问题是我用这种方法结果还是超时了，主要问题好像是取模太多了。

 

　　于是我又想出另一种解法对于每一个数都可以分解成素数相乘，那我们先压缩数据在0~p-1之间，然后就可以将这些数分解成质数的幂相乘，然后我们可以想素数筛法那样求一遍，最终就可以得到结果。这种方法之所以可以使用是因为10^6一下的质数大概有1.2*10^5这么多个，不算多，所以可行。同时这种方法相对于前面的方法速度上应该会更快。前一种方法的时间复杂度大概是O(p*logp)，后一种方法的时间复杂度大概是O(ploglogp)，接近O(p)。

 

 

 

 

 

 

上代码：

 

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #define LL long long
 #define MAX 1000002
 using namespace std;

 LL n,m,p,ti;

 bool f[MAX];
 LL mm[MAX];
 LL ans,rr,r;

 LL Fast_Mod(LL i,LL t){
     LL a = ;
     while(t){
         if(t&) a = i*a%p;
         i = (i%p)*(i%p)%p;
         t>>=;
     }
     return a;
 }

 void solve1(){
     ans=;
     memset(f,,sizeof(f));
     for(int i=;i<=p;i++) mm[i]=;
     LL u;
     f[]=;
     for(LL i=;i<=p;i++){
         if(!f[i]){
             mm[i] = Fast_Mod(i,m);
             for(LL j=i+i;j<=p;j+=i){
                 f[j]=;
                 u = j;
                 while(u%i==){
                     u/=i;
                     mm[j]=mm[j]*mm[i]%p;
                 }
             }
         }
         ans = (ans + mm[i])%p;
         if(i<=r) rr=ans;
     }
 }

 void solve2(){
     ans=;
     memset(f,,sizeof(f));
     for(int i=;i<=r;i++) mm[i]=;
     LL u;
     f[]=;
     for(LL i=;i<=r;i++){
         if(!f[i]){
             mm[i] = Fast_Mod(i,m);
             for(LL j=i+i;j<=r;j+=i){
                 f[j]=;
                 u = j;
                 while(u%i==){
                     u/=i;
                     mm[j]=mm[j]*mm[i]%p;
                 }
             }
         }
         ans = (ans + mm[i])%p;
     }
 }

 int main()
 {
     int t;
     //freopen("data.txt","r",stdin);
     scanf("%d",&t);
     while(t--){
         scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&p);
         ti = n/p;
         r = n%p;
         rr=;
         if(ti!=){
             solve1();
             ans = (ans*ti)%p;
             ans = (ans+rr)%p;
         }else{
             solve2();
         }
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }

Power Sum