BZOJ 1901: Zju2112 Dynamic Rankings[带修改的主席树]【学习笔记】

1901: Zju2112 Dynamic Rankings

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Description

给定一个含有n个数的序列a[1],a[2],a[3]……a[n]，程序必须回答这样的询问：对于给定的i,j,k，在a[i],a[i+1],a[i+2]……a[j]中第k小的数是多少(1≤k≤j-i+1)，并且，你可以改变一些a[i]的值，改变后，程序还能针对改变后的a继续回答上面的问题。你需要编一个这样的程序，从输入文件中读入序列a，然后读入一系列的指令，包括询问指令和修改指令。对于每一个询问指令，你必须输出正确的回答。 第一行有两个正整数n(1≤n≤10000)，m(1≤m≤10000)。分别表示序列的长度和指令的个数。第二行有n个数，表示a[1],a[2]……a[n]，这些数都小于10^9。接下来的m行描述每条指令，每行的格式是下面两种格式中的一种。 Q i j k 或者 C i t Q i j k （i,j,k是数字，1≤i≤j≤n, 1≤k≤j-i+1）表示询问指令，询问a[i]，a[i+1]……a[j]中第k小的数。C i t (1≤i≤n，0≤t≤10^9)表示把a[i]改变成为t。

对于每一次询问，你都需要输出他的答案，每一个输出占单独的一行。

Sample Input

5 3
3 2 1 4 7
Q 1 4 3
C 2 6
Q 2 5 3

Sample Output

3
6

HINT

20%的数据中，m,n≤100; 40%的数据中，m,n≤1000; 100%的数据中，m,n≤10000。

---

[2016-12-12]

普通主席树认为是前缀套线段树，那么这就是树状数组套线段树

前缀区间由原来的一个前缀一个线段树变成BIT组成的几棵线段树一起

每个线段树维护的还是离散排序后的数列

每个节点也相当于一个主席树，我觉得更像是线段树，但是修改的时候用到了主席树的方法，就是在原来的基础上修改(只不过这些原来的都不保存)

add操作要修改一些主席树,在这些主席树中减去/增加某个值，因为区间变动了

sum操作要加一些主席树的区间和

外层的BIT是为了处理询问区间，内层是为了找k值

kth时候要把用到的主席树提出了，每个都往左往右

[2016-12-18]

普通主席树的话，要是我们要修改一个数，就要把后面的主席树全部修改了，所以用树状数组套在外层

这时候一段前缀和要把几个线段树(上的值)加和，移动的时候也要同时移动，所以需要记录这些用到的节点的线段树走到哪了

我见到了两种写法，一种用cur[i]表示位置i的线段树走到哪了，一种用两个数组提出来

cur[i]的写法貌似是错误的，因为两个前缀和可能用到了树状数组同一个节点，这样这个节点会走两次
然而数据太弱....并没有WA

空间复杂度O(nlognlogn)，因为一次加入需要logn个树状数组的节点

//
//  main.cpp
//  zoj2112
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//

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ls(x) t[x].lc
#define rs(x) t[x].rc
typedef long long ll;
const int N=2e4+;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=,f=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,Q,m,a[N],mp[N],i,j,k;
char s[];
struct question{
    char s[];
    int i,j,k,x,d;
}q[N];
void inithash(){
    sort(mp+,mp++m);
    int p=;
    for(int i=;i<=m;i++) if(mp[i]!=mp[i-]) mp[++p]=mp[i];
    m=p;
}
inline int Bin(int v){
    int l=,r=m;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>;
        if(mp[mid]==v) return mid;
        if(mp[mid]>v) r=mid-;
        else l=mid+;
    }
    return -;
}

inline int lowbit(int x){return x&-x;}
struct node{
    int lc,rc,w;
}t[N*];
int sz=,root[N];
void ins(int &x,int l,int r,int num,int v){
    t[++sz]=t[x];x=sz;
    t[x].w+=v;
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>;
    if(num<=mid) ins(t[x].lc,l,mid,num,v);
    else ins(t[x].rc,mid+,r,num,v);
}
void add(int p,int v){
    int _=Bin(a[p]);//printf("add %d %d %d\n",p,a[p],_);
    for(int i=p;i<=n;i+=lowbit(i)) ins(root[i],,m,_,v);
}
int q1[N],t1,q2[N],t2;
int cal(){
    int sum1=,sum2=;
    for(int i=;i<=t1;i++) sum1+=t[ls(q1[i])].w;
    for(int i=;i<=t2;i++) sum2+=t[ls(q2[i])].w;
    return sum2-sum1;
}
int query(int ql,int qr,int k){//printf("query %d %d %d\n",l,r,k);
    int l=,r=m;t1=t2=;
    for(int i=ql-;i;i-=lowbit(i)) q1[++t1]=root[i];
    for(int i=qr;i;i-=lowbit(i)) q2[++t2]=root[i];
    while(l<r){
        int ls=cal(),mid=(l+r)>>;//printf("hi %d %d %d\n",l,r,ls);
        if(k<=ls){
            for(int i=;i<=t1;i++) q1[i]=t[q1[i]].lc;
            for(int i=;i<=t2;i++) q2[i]=t[q2[i]].lc;
            r=mid;
        }else{
            for(int i=;i<=t1;i++) q1[i]=t[q1[i]].rc;
            for(int i=;i<=t2;i++) q2[i]=t[q2[i]].rc;
            l=mid+;k-=ls;
        }
    }
    return l;
}
void solve(){
    for(int i=;i<=n;i++) add(i,);
    for(int i=;i<=Q;i++){
        if(q[i].s[]=='Q'){
            printf("%d\n",mp[query(q[i].i,q[i].j,q[i].k)]);
        }else{
            add(q[i].x,-);
            a[q[i].x]=q[i].d;
            add(q[i].x,);
        }
    }
}
int main(int argc, const char * argv[]){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
        n=read();Q=read();
        for(int i=;i<=n;i++) a[i]=mp[++m]=read();
        for(int i=;i<=Q;i++){
            scanf("%s",q[i].s);
            if(q[i].s[]=='Q') q[i].i=read(),q[i].j=read(),q[i].k=read();
            else q[i].x=read(),q[i].d=mp[++m]=read();
        }
        inithash();
        solve();
    return ;
}

[2016-12-31]

有一个优化，初始化序列像普通主席树一样建前缀和套线段树，树状数组维护的只是修改量，这样对于一段区间就是树状数组和前缀和两个加起来

这样初始化就是nlogn了，时间空间都是

//
//  main.cpp
//  zoj2112
//
//  Created by Candy on 2016/12/11.
//  Copyright ? 2016年 Candy. All rights reserved.
//

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ls(x) t[x].lc
#define rs(x) t[x].rc
typedef long long ll;
const int N=2e4+;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=,f=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,Q,m,a[N],mp[N],i,j,k;
char s[];
struct question{
    char s[];
    int i,j,k,x,d;
}q[N];
void inithash(){
    sort(mp+,mp++m);
    int p=;
    for(int i=;i<=m;i++) if(mp[i]!=mp[i-]) mp[++p]=mp[i];
    m=p;
}
inline int Bin(int v){
    int l=,r=m;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>;
        if(mp[mid]==v) return mid;
        if(mp[mid]>v) r=mid-;
        else l=mid+;
    }
    return -;
}

inline int lowbit(int x){return x&-x;}
struct node{
    int lc,rc,w;
}t[N*];
int sz=,root[N],rt[N];
void ins(int &x,int l,int r,int num,int v){
    t[++sz]=t[x];x=sz;
    t[x].w+=v;
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>;
    if(num<=mid) ins(t[x].lc,l,mid,num,v);
    else ins(t[x].rc,mid+,r,num,v);
}
void add(int p,int v){
    int _=Bin(a[p]);
    for(int i=p;i<=n;i+=lowbit(i)) ins(root[i],,m,_,v);
}
int q1[N],t1,q2[N],t2;
int cal(){
    int sum1=,sum2=;
    for(int i=;i<=t1;i++) sum1+=t[ls(q1[i])].w;
    for(int i=;i<=t2;i++) sum2+=t[ls(q2[i])].w;
    return sum2-sum1;
}
int query(int ql,int qr,int k){
    int l=,r=m;t1=t2=;
    for(int i=ql-;i;i-=lowbit(i)) q1[++t1]=root[i];
    for(int i=qr;i;i-=lowbit(i)) q2[++t2]=root[i];
    ql--;
    ql=rt[ql];qr=rt[qr];
    while(l<r){
        int lsize=cal()+t[ls(qr)].w-t[ls(ql)].w,mid=(l+r)>>;
        if(k<=lsize){
            for(int i=;i<=t1;i++) q1[i]=t[q1[i]].lc;
            for(int i=;i<=t2;i++) q2[i]=t[q2[i]].lc;
            ql=ls(ql);qr=ls(qr);
            r=mid;
        }else{
            for(int i=;i<=t1;i++) q1[i]=t[q1[i]].rc;
            for(int i=;i<=t2;i++) q2[i]=t[q2[i]].rc;
            ql=rs(ql);qr=rs(qr);
            l=mid+;k-=lsize;
        }
    }
    return l;
}
void solve(){
    for(int i=;i<=n;i++) rt[i]=rt[i-],ins(rt[i],,m,Bin(a[i]),);
    for(int i=;i<=Q;i++){
        if(q[i].s[]=='Q'){
            printf("%d\n",mp[query(q[i].i,q[i].j,q[i].k)]);
        }else{
            add(q[i].x,-);
            a[q[i].x]=q[i].d;
            add(q[i].x,);
        }
    }
}
int main(int argc, const char * argv[]){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
        n=read();Q=read();
        for(int i=;i<=n;i++) a[i]=mp[++m]=read();
        for(int i=;i<=Q;i++){
            scanf("%s",q[i].s);
            if(q[i].s[]=='Q') q[i].i=read(),q[i].j=read(),q[i].k=read();
            else q[i].x=read(),q[i].d=mp[++m]=read();
        }
        inithash();
        solve();
    return ;
}