中国剩余定理（CRT）与欧拉函数[数论]

中国剩余定理

——!x^n+y^n=z^n

　　想必大家都听过同余方程这种玩意，但是可能对于中国剩余定理有诸多不解，作为一个MOer&OIer，在此具体说明。

对于同余方程：

x≡c₁（mod m₁）

x≡c₂（mod m₂）

···

x≡c_n （mod m_n） [其中任意的两个m_i,m_j互质]

　　我们可以构造出一个解：

令m=Πa_i[0<i<=n]，M_i*m_i=m。

那我们可以得到一组解：

x=ΣM_i*M_i^-1（mod m） 接下来我们想办法证明她是唯一的：

Mi*Mi^-1≡1（mod m_i）

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证明：

假设x1与x2均为方程的解，且x1，x2 模 m不同余。

那么 m<sub>i</sub>|x1-x2

由于（mi，mj）=1，即m|x1-x2

也就是 x1≡x2（mod m）这与假设矛盾！故命题得证。

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　　当然还有更深的道理蕴含在里面。

/*添加一个概念：完全剩余系：大概是这个意思，就是一些数模a的余数为（0,1,2，L，a-1）即为模a的完全剩余系（概念说不严谨，大概意思知道就行...）*/

• 定理一：（从简单方面入手）

对于m1，m2。我们记x（1）为m1的一个完全剩余系，x（2）意思相同。

对于x（1）i+m1*x（2）j，当x（1）i，x（2）遍历m1，m2的完全剩余系时，也遍历了m1m2的完全剩余系。

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证明：

注意到遍历的方式只有m1m2种，我们只需要证其两两不同余即可。

若x（1）i+m1*x（2）j≡x（1）p+m1*x（2）q（mod m1m2）

那么m1m2|x（1）i+m1*x（2）j-x（1）p-m1*x（2）q => m1|x（1）i-x（1）p => i=p => x（1）i = x（1）j

那么进一步的我们还可以得到：

m2|x（2）j-x（2）q => j=q => x（2）j=x（2）q

固原命题得证。

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• 定理二：

当然我们希望这个式子具有对称性，所以我们考虑（m1，m2）=1的情况。

其实因为（m1，m2）=1，所以x（1）与x（1）*m2都是模m1的完全剩余系，既然这样我就可以得到

x（1）*m2+x（2）*m1当x（1），x（2）分别遍历其各自的完全剩余系时，x（1）*m2+x（2）*m1会遍历m的完全剩余系。

• 定理三：

我们想要更加一般的结论，对于n>=2，那么

m=m1*m2*L*mn，其中任意的mi与mj（i≠j）是两两互质的，Mi*mi=m，即有：

ΣMi*x（i），当每个i遍历其各自的完全剩余系时，也会遍历m的完全剩余系。

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证明（我们当然可以使用数学归纳法）：

①   当n=2时，由定理二已知其成立。

②   我们假设当n>2时命题成立，

我们记X=Σ（x（i）*Mi/Mn+1），m=Σmi   [1<=i<=n+1]

则要证的式子化为：

x（n+1）Mn+1+mn+1X，注意到mn+1与Mn+1互质，由定理二可知，定理三成立。

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也就是说x（i）的每一种选择与模m的完全剩余系时一一对应的，也就是说x∈[0,m-1]的同余方程解是存在且唯一的。

　　这时候我们再回去看欧拉函数，假设p为质数

φ（p）=p-1

φ（p^k）=p^k-p^(k-1)=p^(k-1)(p-1)

如果（p，q）互质，那么φ（pq）会等于什么呢？（猜测φ（pq）=φ（p）*φ(q）)

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假设p1为模p的完全剩余系，q1亦然。

那么p1*q+q1*p，当p1，q1分别遍历其各自的完全剩余系，p1*q+q1*p也会遍历模pq的完全剩余系。

①注意到若（a，p）=1且a<p，

（b，q）=1且b<q

那么a*q+b*p一定没有pq的质因子，可以自己想一下。或者可以这样想：

（a*q，b*p）=1，即他们没有公共的质因子，就是说他可以表示成两组质因子分解的和，既无法因式分解，所以（a*q+b*p，pq）=1。

③   （a，p）≠1且a<p，b亦然。

那么a*q+b*p一定能够因式分解，就是一定能表示成x*y的形式，并且（x，y）≠1。

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有了上述定理，欧拉函数的计算方法已经得证（请读者自己领会）。

　　这里给出φ的计算方法：

φ（n）=n*（1-1/p1）*（1-1/p2）*L*（1-1/pk），pi为n的质因子。

　　本Lowbee能力有限，如有错误，请各位大佬指正。