Bzoj 4403: 序列统计 Lucas定理,组合数学,数论

4403: 序列统计

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Description

给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对10^6+3取模的结果。

Input

输入第一行包含一个整数T，表示数据组数。第2到第T+1行每行包含三个整数N、L和R，N、L和R的意义如题所述。

Output

输出包含T行，每行有一个数字，表示你所求出的答案对106+3取模的结果。

Sample Input

21 4 52 4 5

Sample Output

25

HINT

提示

【样例说明】满足条件的2个序列为[4]和[5]。

【数据规模和约定】对于100%的数据，1≤N,L,R≤10^9，1≤T≤100，输入数据保证L≤R。

Source

By yts1999

题解：

Lucas定理＋组合数学

公式推导见：http://blog.csdn.net/lych_cys/article/details/50616439

公式化简见：http://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/50636866

化简：

设k=r-l;

ans=∑(i=1……n)C(i＋k,k)

可以利用杨辉三角，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1);

ans=C(1+k,k)+C(2+k,k)+C(3+k,k)+……+C(n+k,k)

=C(1+k,1+k)-1+C(1+k,k)+C(2+k,k)+C(3+k,k)+……+C(n+k,k)

=(C(1+k,1+k)+C(1+k,k))+C(2+k,k)+C(3+k,k)+……+C(n+k,k)-1

=(C(2+k,1+k)+C(2+k,k))+C(3+k,k)+……+C(n+k,k)-1

=(C(3+k,1+k)+C(3+k,k))+……+C(n+k,k)-1

……

=C(n+k+1,k+1)-1

直接Lucas定理搞就可以了

注意输出要写 ((ans-1LL)%MOD+MOD)%MOD ，要不会WA(输出－1了)

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define MOD 1000003
 #define LL long long
 LL jc[MOD+];
 int read()
 {
     int s=,fh=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')fh=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){s=s*+(ch-'');ch=getchar();}
     return s*fh;
 }
 LL ksm(LL bb,LL pp,LL kk)
 {
     LL s=1LL;
     while(pp>0LL)
     {
         if(pp%2LL!=0LL)s=(s*bb)%kk;
         pp/=2LL;
         bb=(bb*bb)%kk;
     }
     return s;
 }
 LL C(int n,int m,int P)
 {
     if(m>n)return 0LL;
     if(n-m<m)m=n-m;
     return (jc[n]*ksm((jc[m]*jc[n-m])%P,P-,P))%P;
 }
 LL Lucas(int n,int m,int P)
 {
     if(m==)return 1LL;
     return (C(n%P,m%P,P)*Lucas(n/P,m/P,P))%P;
 }
 void cljc()
 {
     jc[]=1LL;
     for(int i=;i<=MOD;i++)jc[i]=(jc[i-]*i)%MOD;
 }
 int main()
 {
     int k,l,r,n,T;
     LL ans;
     cljc();
     T=read();
     while(T--)
     {
         n=read();l=read();r=read();
         k=r-l;
         ans=Lucas(k+n+,k+,MOD);
         printf("%lld\n",((ans-1LL)%MOD+MOD)%MOD);
     }
     fclose(stdin);
     fclose(stdout);
     return ;
 }