《SPFA算法的优化及应用》——姜碧野（学习笔记）

一、核心性质：三角不等式。最短路满足d[v]<=d[u]+w(u,v)

二、SPFA两种实现：

　　常见的是基于bfs的，这是直接对bellman-ford用队列维护。根据最短路的长度最长为（n-1），以点入队n次判负环。适用于拓扑关系较强的环境。

　　基于dfs的实现与前者本质相同。但实现了迭代的连续性，从而可以以搜到栈内的点来判正负环。但因迭代而导致耗时较多，易超时。

　　精髓：只保存有用的状态。

三、求解最短路中两种实现方法的分析：

　　bfs：某个点出队前可以被二次更新，从而使更优解替代次解，并用优解对其他值更新。

　　dfs：构架形式灵活。不进行优化的情况下，次解会对其他值更新，浪费了时间。采用迭代加深，利用贪心初始解的原理，限制节点的递归深度并逐步放宽限制要求。此法在网格图上表现突出。

四、SPFA求最短路与判正（负）环的区别：（负环条件：沿环上路径可以使最短路不断减小；正环条件与之对应）

　　求最短路即常见的bellman-ford的队列实现，之前又讨论了dfs实现。

　　而在判环时，忽略其求最短路的作用，将dis[]初始化为0，并将全部点入队列（这里要注意，正是因为dis[]赋值为0，导致一些更新无法进行，所以要先把所有点入队）。已知存在正环，必然是由正边权引起的，那么沿环上路径一旦(d[u]+w(u,v))<0，d[v]<d[u]+w(u,v)不进行松弛。即初始化直接取边界状态，通过减少迭代次数优化算法。

五、判定正负环中两种实现方法的分析：

　　bfs：1、以n次入队为判定条件，但可以在出队前进行二次更新，所以最多进行NM级更新，最大值=N*M*MaxEdge>maxlongint。借此提出：当dis[]>N*MaxEdge，可以判正环。（类比于入队n次）

　　　　2、环构成了连通分量，那么缩点后去掉连通分量之间的边，不影响判正（负）环。

　　　　3、牺牲程序正确性来判正（负）环。已知SPFA的平均运行时间为O(KM)；而在存在环时，会因不断迭代使程序效率低下。借此提出：当程序效率低下时，存在正（负）环。表现形式为所有点入队总次数>T*(M+N)，就判定存在，T一般取2，具体根据题目时限修改。分析：事实上，正是因为bfs迭代的不连续性，导致不能直接找到正环，退而求次，以n次入队判定。而n次入队其实包含了大量的冗余计算。

　　　　注：前两条效果不明显，又以第二条代码实现复杂度高；而第三条，优化效果明显，却因为影响正确性，需灵活使用。

　　dfs：正是在求解最短路中bfs的优势——二次更新，导致迭代不能连续进行，不可能找到同一个环上仍在队列中的节点。而dfs的劣势——连续迭代导致的时间复杂度较高，在判正负环时，却因对dis[]数组直接赋值0，而使效率大大提高。又因是连续迭代，很容易找到已标记的点，判定正负环。

六、小结

　　求解最短路的常用形式：bfs。优化核心：用更优解代替次解进行迭代（或入队操作）。

　　判定正负环的常用形式：dfs