UVa10426

GCD Extreme(II)

Input: Standard Input Output:

Standard Output

Given the value of N, you will have to find the value of G. The definition of G is given below:

Here GCD(i,j) means the greatest common divisor of integer i and integer j.   For those who have trouble understanding summation notation, the meaning of G is given in the following code: G=0; for(i=1;i<N;i++) for(j=i+1;j<=N;j++) {     G+=gcd(i,j); } /*Here gcd() is a function that finds the greatest common divisor of the two input numbers*/   Input The input file contains at most 100 lines of inputs. Each line contains an integer N (1<N<4000001). The meaning of N is given in the problem statement. Input is terminated by a line containing a single zero.   Output For each line of input produce one line of output. This line contains the value of G for the corresponding N. The value of G will fit in a 64-bit signed integer.   Sample Input

10 100 200000 0

Output for Sample Input

67 13015 143295493160

Problemsetter: Shahriar Manzoor

Special Thanks: Syed Monowar Hossain

/* 【题意】

求sum(gcd(i,j),1<=i<j<=n)1<n<4000001

【题解】 1.建立递推关系，s(n)=s(n-1)+gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n);

2.设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n)。

gcd(x,n)=i是n的约数（x<n），按照这个约数进行分类。设满足gcd（x,n）=i的约束有g(n,i)个，则有f(n)=sum(i*g(n,i))。

而gcd(x,n)=i等价于gcd(x/i,n/i)=1，因此g(n,i)等价于phi(n/i).phi(x)为欧拉函数。

3.降低时间复杂度。用筛法预处理phi[x]表

用筛法预处理f(x)->枚举因数，更新其所有倍数求解。

*/

/* 欧拉函数的应用，以后看到互质的数第一个就要想到欧拉函数。今天又学到了好多家伙。 欧拉定理： 欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)   费马小定理： 且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 */

 //1285ms

 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<algorithm>
 #include<math.h>
 #include<queue>
 #include<set>
 #include<vector>
 #include<bitset>
 using namespace std;
 typedef long long ll;

 const int M=;
 int phi[M];
 ll s[M],f[M];//f[n]=sum(phi[i]*j)    (i*j=n) (去掉n*phi[1],因为gcd（n,n）不符合题意！！)

 int get(){
     char c;
     int res=;
     while(c=getchar(),!isdigit(c));
     do{
         res=(res<<)+(res<<)+(c-'');
     }while(c=getchar(),isdigit(c));
     return res;
 }

 void phi_table()//类似素数刷表！！
 {
     phi[]=;
     for(int i=;i<M;i++)phi[i]=i;
     for(int i=;i<M;i+=)phi[i]/=;
     for(int i=;i<M;i+=)
     if(phi[i]==i)//说明i是素数！！！
     for(int j=i;j<M;j+=i)
     {
         phi[j]-=phi[j]/i;//保证i是素数且是j的素因子！！！
     }
 }  

 int main()
 {
     int n,i,j,k;
     phi_table();
     memset(f,,sizeof(f));
     phi[]=;
     for(i=;i<(int)sqrt(M);i++)
     {
         f[i*i]+=phi[i]*i;
         for(n=i*i+i;n<M;n+=i)
         f[n]+=(ll)(i*phi[n/i]+n/i*phi[i]);//之前令phi[1]=0；因为gcd(n,n)不符合题意！！
     }
     s[]=;
     for( n=;n<M;n++)    s[n]=s[n-]+f[n];
     while()
     {
         n=get();
         if(n==)break;
         printf("%lld\n",s[n]);
     }
     return ;
 }

 //2382ms
 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<algorithm>
 #include<math.h>
 #include<queue>
 #include<set>
 #include<vector>
 #include<bitset>
 using namespace std;
 typedef long long ll;

 const ll M=;
 ll phi[M];
 ll s[M],f[M];

 void phi_table()//类似素数刷表！！
 {
     phi[]=;
     for(int i=;i<M;i++)phi[i]=i;
     for(int i=;i<M;i+=)phi[i]/=;
     for(int i=;i<M;i+=)

     if(phi[i]==i)//说明i是素数！！！
     for(int j=i;j<M;j+=i)
     {
         phi[j]-=phi[j]/i;//保证i是素数且是j的素因子！！！
     }
 }
 int main()
 {
     phi_table();
     memset(f,,sizeof(f));
     for(int i=;i<M;i++)
     for(int n=i+i;n<M;n+=i)
         f[n]+=i*phi[n/i];
     s[]=;
     for(int n=;n<M;n++)    s[n]=s[n-]+f[n];
     int n;
     while(scanf("%d",&n)==&&n)
     {
         printf("%lld\n",s[n]);
     }
     return ;
 }

 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<algorithm>
 #include<math.h>
 #include<queue>
 #include<set>
 #include<vector>
 #include<bitset>
 using namespace std;
 typedef long long ll;

 const ll M=;
 ll phi[*M];
 ll s[M],f[M];

 void phi_table()//类似素数刷表！！
 {
     for(int i=;i<=M;i++)phi[i]=;
     phi[]=;
     for(int i=;i<=M;i++)
     if(!phi[i])//说明i是素数！！！
     for(int j=i;j<=M;j+=i)
     {
         if(!phi[j])phi[j]=j;
         phi[j]=phi[j]/i*(i-);//保证i是素数且是j的素因子！！！
     }
 }
 int main()
 {
     phi_table();
     memset(f,,sizeof(f));
     for(int i=;i<=M;i++)
     for(int n=i+i;n<=M;n+=i)
         f[n]+=i*phi[n/i];
     s[]=;
     for(int n=;n<=M;n++)    s[n]=s[n-]+f[n];
     int n;
     while(scanf("%d",&n)==&&n)
     {
         printf("%lld\n",s[n]);
     }
     return ;
 }