P4823 [TJOI2013] 拯救小矮人

感觉这个题的操作很新奇，做个记录。

P4823 [TJOI2013] 拯救小矮人

大概题面：

一群小矮人掉进了一个很深的陷阱里，由于太矮爬不上来，于是他们决

定搭一个人梯。即：一个小矮人站在另一小矮人的肩膀上，直到最顶端

的小矮人伸直胳膊可以碰到陷阱口。

对于每一个小矮人，我们知道他从脚到肩膀的高度 \(A_i\)，并且他的胳膊长

度为 \(B_i\)。陷阱深度为 \(H\)。

如果我们利用矮人 \(1\)，矮人 \(2\)，矮人 \(3\)，\(\ldots\)，矮人 \(k\) 搭一个梯子，满足

\(A_1 + A_2 + A_3 + \ldots + A_k + B_k \geq H\)，那么矮人 \(k\) 就可以离开陷阱逃跑了，

一旦一个矮人逃跑了，他就不能再搭人梯了。

我们希望尽可能多的小矮人逃跑，问最多可以使多少个小矮人逃跑。

数据范围：\(1 \leq N\leq 2000\)，\(1 \leq A_i,B_i,H\leq10^5\)。

1:贪心+dp

首先小矮人出去一定与顺序有关，前一个小矮人出去可能导致后面小矮人无法出去。

那么从贪心的角度思考，将小矮人按 \(a_i+b_i\) 从小到大排序，

可以对比，当 \(a_i+b_i < a_j+b_j\) 时，\(H+a_i+b_i\) 与 \(H+a_j+b_j\) 那个更优？ (*交换对比)

发现当 \(a_i+b_i\) 先出去时，其他小矮人更有机会出去，而 \(a_j+b_j\) 先出去时，其他小矮人可能够不到而无法出去。

当 \(a_i+b_i = a_j+b_j\) 时，显然 \(a_i\) 较大的人应该留下(让人梯更长)。

我们发现 \(N\) 较小，可以枚举考虑到每个人的状态，考虑dp。

接下来考虑如何dp。很自然的想到有 \(f_{i,j}=x\) 为枚举第 \(i\) 个小矮人时，人梯长度为 \(j\) 时，最多能逃出 \(x\) 个人。 (我好菜...)

发现 \(j\) 很大，不好转移。所以交换一下，改成：

\(f_{i,j}=x\) 为枚举第 \(i\) 个小矮人时，能逃出 \(j\) 个人时，人梯长度最大为 \(x\) 。 (*枚举信息交换)

考虑转移，当有 \(f_{i-1,j-1}+b_i \geq H\) 时，小矮人 \(i\) 可以逃出。

则此时有 \(f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i-1,j-1}-a_i)\)

我们发现 \(f_{i,j}\) 在转移时只与上一位 \(i-1\) 有关，所以考虑滚动数组将 \(i\) 这一维优化掉。 (*滚动数组)

则：\(f_j=max(f_j , f_{j-1}-a_i)\)

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2005;
int n,h;
struct node{
    int x,y;
    bool operator<(const node& p)const{
        if(x+y==p.x+p.y)return x<p.x;
        else return x+y<p.x+p.y;
    }
}a[N];
int f[N];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
    sort(a+1,a+1+n);
    scanf("%d",&h);
    memset(f,-0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)f[0]+=a[i].x;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=n;j>=1;j--){
            if(f[j-1]+a[i].y>=h){
                f[j]=max(f[j],f[j-1]-a[i].x);
            }
        }
    }
    for(int i=n;i>=0;i--){
        if(f[i]>=0){
            printf("%d\n",i);
            break;
        }
    }
    return 0;
}

这个题目也可以用反悔贪心，（有时间就写在别的地方，补链接）

2：我学会了：

1. 考虑顺序。并且可以通过交换在对比知道谁应该在前面。
2. 有时不好枚举时可以交换信息