题解 [HDU6747] Rotate 期望 + 逆元

来源：2020 年百度之星·程序设计大赛 - 初赛一

一个圈，从内到外一共被分成了 \(n\) 个环，中间是空的。

我们把从外到内第 \(i\) 层环平分成 \(a[i]\) 份，其中 \(a[i]\) 是偶数，我们把这 \(a[i]\) 份黑白染色，第奇数个染成黑色，第偶数个染成白色。

现在我们旋转每一层，每一层都会等概率随机到一个中止位置。

问黑色的联通块数目的期望。两块黑色的区域有交点即算联通。层之间的旋转是相互独立的。

\(1\le n\le 10,1\le a_i \le 1000,1\le T\le10,a_i\) 是偶数且不降

因为 \(a_i\) 为偶数且不降，可以发现相邻的黑块连边如同一棵树一样

\[连通块数量 = 所有层的黑块数目 - 每层之间的黑边
\]

黑块的数目和为 \(\sum\limits_{i = 1}^n \frac{a_i}2\) ，考虑每层黑边的期望数目

对于任意两层的任意两个黑块，他们相交的概率是 \(\frac{1}{a_i} + \frac{1}{a_{i + 1}}\) ，乘上他们的块数，就是期望的相交个数。

\[\sum\limits_{i = 1}^n \frac{a_i}2-\sum_{i=1}^{n-1}(\frac{1}{a_i} + \frac{1}{a_{i + 1}})\frac{a_i}2\frac{a_{i + 1}}2 = \frac{a[1]+a[n]}{4}
\]

最后的式子由费马小定理可知当 \(p\) 为质数时： \(\frac{a[1]+a[n]}{4} = a[1]\times a[n] \times pow(4,p-2) \ mod\ p\)

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代码 注意防止溢出

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int a[N];
ll qpow(ll a, ll b, ll p) {
    ll ans = 1;
    for (; b; b >>= 1, a = a * a % p)
        if (b & 1)ans = ans * a % p;
    return ans;
}
int main() {
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
    int _; for (cin >> _; _--;) {
        int n;
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i += 1) cin >> a[i];
        ll ans = 0;
        cout << ((a[1] + a[n]) * qpow(4, mod - 2, mod) % mod) << "\n";
    }
}