关于 x^n + 1 形式因式分解的讨论

昨晚一个同学问我立方和分解，突发奇想想到了这个问题。看到网上关于这个问题的许多解答都不是很准确。在此修正一下。

引理一：立方和公式

对于形如 \(a^3 + b^3\) 的式子，有因式分解：

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

式子两边展开即可证明。

现在考虑 \(x^3 + 1\) 的因式分解，套用立方和公式可知，\(a = x, b = 1\)。因此因式分解可以表示为：

\[x ^ 3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
\]

接下来将 \(x\) 的指数扩展到 \(n(n \in \Z^{+})\)。

考虑可以将 \(x^n + 1\) 分解成 \((x^k + 1)(x^{n - k} - x^{n - 2k} + x^{n - 3k} - x^{n - 4k} + \cdots + 1)\)，其中 \(k \in \Z^{+}\) 且 \(k | n\)。显然，若 \(k = 1\)，对于所有的 \(n\) 都满足 \(k | n\)。

因此可以将 \(x^n + 1\) 分解为 \((x + 1)(x^{n - 1} - x^{n - 2} + x^{n - 3} - x^{n - 4} + \cdots + 1)\)。然而由于 \(\dfrac{n}{1}\) 不一定是奇数，所以最后一位可能出现 \(\pm 1\) 两种情况。其中 \(-1\) 的情况不成立。

引理二：对于 \(x^n + 1\)，\(n \in \Z^{+}\) 且 \(n \equiv1 \pmod 2\)（即 \(n\) 为奇数），都有一下因式分解形式：

\(x^n + 1 = (x+1)(x^{n - 1} - x^{n - 2} + x^{n - 3} - x^{n - 4} + \cdots + 1)\)

当然，刚才已经解释过一部分了。

\[(x+1)(x^{n - 1} - x^{n - 2} + x^{n - 3} - x^{n - 4} + \cdots + 1) = (x + 1)\sum_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i} x^i \\ = x \sum_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i} x^i + \sum_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i} x^i \\ = \sum_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i} x^{i + 1} + \sum_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{i} x^i \\ =x^n + 1
\]

显然，对于 \(n\) 为奇数的情况都有分解。然后有许多文章就断言对于偶数没有分解。这是完全错误的。考虑 \(n = 6\) 的情况。\(x ^ 6 + 1 = (x^2)^3 + 1\)。设 \(a = x^3\)，可以对于 \(a^3 + 1\) 因式分解。所以虽然 \(n = 6\) 为偶数，仍然是可以分解的。

引理三：唯一分解定理：

对于任意大于 \(1\) 的正整数，都可以分解为 \(n = p_1^{c_1} p_2^{c_2} \cdots p_k^{c_k}\)，且表示方式唯一。（\(p\) 为不相等的质数。

对于 \(n = p_1^{c_1} p_2^{c_2} \cdots p_k^{c_k}\)，\((x^n + 1)\) 可以表示为 \(((x^{p_1^{c_1}})^{p_2^{c_2}})^{\cdots p_k^{c_k}} + 1\) 的形式，如果 \(k \ge 2\)，必定有一个 \(p\) 为奇数。（因为只有二为偶质数）。那么它可以被分解。

用类似筛法的思想，我们可以发现，大部分 \(n\) 都可以因式分解，当且仅当 \(k = 1\) 且 \(p = 2\) 时，原式没有因式分解。即：

\(n = 2^a, a\in \Z^{+}\) 时，原式没有因式分解。当然，\(n\) 可以等于 \(2, 4, 8, 16, 32 \cdots\)

对于最后的这种情况，并没有想过完整的证明，希望有人来补充。

最后来一个思考题：

对形如 \(2 ^ n - 1\) 的质数，我们称之为“梅森质数”。

对形如 \(2 ^ n + 1\) 的质数，我们称之为“费马质数”。

费马质数的结论之一就是：一个数是费马质数的充分条件为 \(n\) 一定是 \(2\) 的整数次幂。

当然，这与 \(x ^ n + 1\) 的因式分解紧密相关。关于费马质数可以看这里 费马质数