AT_arc041_b 题解

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题目简述

给定一个 \(N \times M\) 的矩阵，此矩阵的每一个元素都向上、下、左、右 \(4\) 个方向同时扩散（原来的位置不保留）。

现给出原矩阵扩散后的矩阵，求原矩阵。

思路

对于扩散后的 \((i,j)\)，是原矩阵的 \((i-1,j)\)，\((i+1,j)\)，\((i,j-1)\)，\((i,j+1)\) 扩散而来的，那么就可以通过这 \(4\) 个点推断出原矩阵上 \((i,j)\) 的数。

例如：

010
101
010

这个样例中，只有 \((2,2)\) 周围 \(4\) 个方向都是非 \(0\) 数，所以从这个例子中就可推出计算原矩阵上 \((i,j)\) 的数的方程式了：

\[(i,j)=\min(\min((i-1,j),(i+1,j),\min((i,j-1),(i,j+1)))
\]

那么就会产生一个疑问，对于边界有没有特殊情况？比如对于 \((1,1)\) 他的方程式带入就为：

\[(1,1)=\min(\min((0,1),(2,1)),\min((1,0),(1,2)))
\]

所以对于边界 \((0,1)\) 和 \((1,0)\) 的初始化就尤为重要，这里建议初始化为 \(0\)，这样取 \(\min\) 之后就为 \(0\) 了。

处理完边界的初始化之后基本就没什么了，不过我们还是要思考一下，比如对于以下情况：

0000000
0001000
0030400
0209030
0050600
0003000
0000000

\((2,3)\) 并不是边界并且也不满足四周都是非 \(0\) 数，那么它是不是一种特殊情况？会不会不满足上面推出的方程式？答案是肯定的，因为 \((2,3)\) 的上、左两个方向的数是 \(0\)，则取 \(\min\) 之后就一定为 \(0\) 了。

经过以上分析以及一些证明，基本就有大致的代码框架了：

#include<iostream>
using namespace std;

int n, m, mp[505][505]; // mp 记录地图
char c; // 临时储存

int main() {
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		for(int j = 1; j <= m; j ++) {
			cin >> c;
			mp[i][j] = c - '0'; // 转化为数字
		}
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		for(int j = 1; j <= m; j ++) {
			int minn = min(min(mp[i - 1][j], mp[i + 1][j]), min(mp[i][j - 1], mp[i][j + 1])); // 计算 minn 值
			cout << minn; // 可直接输出
        // 把周围扩散的数减去
			mp[i - 1][j] -= minn; mp[i + 1][j] -= minn;
			mp[i][j - 1] -= minn; mp[i][j + 1] -= minn;
		}
		cout << endl; // 记得换行
	}
	return 0;
}

提交记录

\[\text{The End!}
\]