Atziluth's Last Contest. 001题解

被dalaoYHH爆虐

问题 H:mcd

题目描述

给出两个长为 \(n\) 的数列 \({a_n},{b_n}\)，保证 \(a_i\le b_i(i=1,2,\cdots,n)\)。

现在您需要对于所有的 $k \in [1,m] \cup \mathbb{Z} $，求出满足以下条件的数列 \(c\) 的数量：

• 长为 \(n\)；
• \(a_i\le c_i\le b_i (i=1,2,\cdots,n)\)；
• \(\gcd\limits_{i=1}^n{c_i}=k\)，其中 \(\gcd\) 是最大公约数的英文简写。

对 \(998244353\) 取模。

输入格式

第一行两个正整数 \(n,m\)。

此后 \(n\) 行，每行两个正整数，分别表示 \(a,b\)。

输出格式

一行一个非负整数，表示数列数对 \(998244353\) 取模的结果。

样例输入

3 10
1 9
4 8
7 10

样例输出

151
20
3
3
1
0
1
1
0
0

提示

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n,m,a_i,b_i\le 10^5,a_i\le b_i\)。

题解

首先可以想到容斥，定义函数\(f(i,j)=\lfloor\frac{b_i}{j}\rfloor-\lfloor\frac{a_i-1}{j}\rfloor\)

设\(G_i\)代表最大公约数为\(k\)的倍数的数列的个数，对于每个\(G_i\)，\(G_i=\prod\limits_{j=1}^n{f(j,i)}\)

但是这样肯定会超时，左思右想想不出来，后来YHH&XWKdalao告诉了我做法，核心优化叫做整除分块

这个东西是什么呢，就是对于一个算式 \(H(n)=\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 当 \(i\) 从 \(1\) 增大到 \(n\) 时，ta的值最多只会变化\(2\sqrt n\)次，而且是一直变小的

首先把思路反一下，将它变成一道算贡献的题目，刚开始 \(G_j\) 全都是 \(1\) ，枚举每对 \(a_i,b_i\) 和每个\(G_j\) ，每个 \(G_j\)都乘上 \(f(i,j)\)，根据整除分块，\(f\) 的值一共最多只会变化\(4\sqrt n\)次，也就是说其实对于\(i\)一定的\(f\)函数，只有\(4\sqrt n\)种不同的值，如果使用区间乘的话，就只需要乘至多\(4\sqrt n\)个不同的值，也可使用差分

还有一些细节，就是分块的左右端点如何算，首先\(H(n)=n\)时，\(i=1\)，\(l_1=1\)，对于每个 \(1<i\le n\) 有 \(l_i=r_{i-1}+1\)，难点就是如何通过 \(l_i\) 算出 \(r_i\)

整除分块例题

• 模积和

• H(n)