洛谷P2707 Facer帮父亲 [优先队列，数学]

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Facer帮父亲

题目背景

Facer可是一个孝顺的孩纸呦

题目描述

Facer的父亲是一名经理，现在总是垂头丧气的。

Facer问父亲，怎么啦？父亲说，公司出了点问题啊。

公司管理着N个风景点，每个风景点都有不少人来参观。

可是现在！人民投诉票价太高了，他不得不调整票价

具体来说，第i个景点如果票价是x，来的人数就是max( (ai - bi * x),0 )[收益自己算好伐]

你需要分配每个景点的门票，使得每个景点门票总和不超过k，且最大化收益

求最大的收益

输入输出格式

输入格式：

第一行N , k

接下来N行，每行ai,bi

输出格式：

一行，最大的收益

输入输出样例

输入样例#1：

2 4
50 2
40 1

输出样例#1：

171

说明

样例解释：

景点1票价3，景点2票价1

景点1人数：50 - 3*2 = 44 票价 :3 收益:132

景点2人数 : 40 - 1*1 = 39 票价 : 1 收益:39

总收益171 最大

10% n <= 5 , k <= 5

30% n <= 100,k <= 100

60% n <= 2000,k <= 2000

100%n <= 100000,k <= 100000

1 <= ai , bi <= 100000

鸣谢 zhouyonglong 提供解法

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　　分析：

　　首先我们分析一下，实际上给定的景点的$a$和$b$就是二次函数的两个参数，我们可以计算得到，一个景点的票价每增加$1$获得的收益会变化的数值是：

$a(x+1)-b(x+1)^2-(ax-bx^2) $
$=ax+a-bx^2-2bx-b-ax+bx^2 $
$=a-b-2bx$

　　那么就好办了，我们只需要求出$x$为$1$的情况，然后放入优先队列中维护，每次取出最大的统计答案，然后更新数值继续放入堆中维护。当然，每一次的增加值实际上只有$a-b-2bx-(a-b-2b(x+1))=2b$，所以直接把取出值减去2b就行了。

　　Code：

//It is made by HolseLee on 16th Oct 2018
//Luogu.org P2707
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m;
long long ans;
struct Node {
    int b,v;
    bool operator < (const Node x) const {
        return v<x.v;
    }
};
priority_queue<Node> q;

inline int read()
{
    char ch=getchar(); int num=; bool flag=false;
    while( ch<'' || ch>'' ) {
        if( ch=='-' ) flag=true; ch=getchar();
    }
    while( ch>='' && ch<='' ) {
        num=num*+ch-''; ch=getchar();
    }
    return flag ? -num : num;
}

int main()
{
    n=read(); m=read();
    Node now;int x,y;
    for(int i=; i<=n; ++i) {
        x=read(), y=read();
        if( x-y> ) q.push((Node){y,x-y});
    }
    while( (m--) && (!q.empty()) ) {
        now=q.top(); q.pop();
        ans+=now.v; now.v-=(*now.b);
        if( now.v<= ) continue;
        q.push(now);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
}