线性基(Linear Basis)学习笔记
前言
我看网络上没有什么非常系统的教学,可能是我太菜了吧,现在才学,做个记录给自己看。
简略介绍
一个数集能两两异或,能表出许多新的数。
线性基是一个集合,能够在记录最少的数的基础上,表示出一个等价的异或集合。+
常用来解决最大异或子集问题。
下文假设 \(L\) 为值域最大值在二进制下的位数。
构造方法 & 解决问题
插入
bool insert(ll val) {
fd(i, L, 0)
if (val >> i & 1)) {
if (!b[i]) { // b[i] 是记录线性基的数组
b[i] = val;
break;
}
val ^= b[i];
}
return val;
}
如果说 \(\text{val}\) 能被表出,那么它一定会在最后变成 \(0\) 。否则,我们认定下标 \(i\) 的位置放置的数的二进制下第 \(i\) 位一定是 \(1\)。并将它插入。
不难发现,一个插入的数被填进第 \(i\) 位时,其更高位一定被全部异或 \(0\) ,故 \(i\) 是它的最高位 \(1\) 的位置。记住这个性质,会在下面使用。
插入一个数复杂度是 \(O(L)\) 的。
最大异或子集
根据上面的性质,我们从高位贪心地考虑,希望能够尽量让高位的 \(1\) 能够出现。
ll mx() {
ll ret=0;
fd(i, L, 0)
if((ret ^ b[i]) > ret)
ret ^= b[i];
return ret;
}
\(O(L)\)。
合并两个线性基
直接把一个线性基中的元素插入另一个,\(O(L^2)\) 。
求第 \(k\) 小能被表出元素
我们改造这个线性基,使得每一位相互独立。类似高斯消元。从低位到高位消。
void rebuild() {
fo(i, 1, L)
fo(j, 1, i)
if(d[i] >> (j - 1) & 1)
d[i] ^= d[j - 1];
}
ll k_th(ll k) {
// 如果算上零的话需要有特判
if(k == 1 && tot < n) return 0;//特判一下,假如k=1,并且原来的序列可以异或出0,就要返回0,tot表示线性基中的元素个数,n表示序列长度
if(tot < n) --k;//类似上面,去掉0的情况,因为线性基中只能异或出不为0的解
// 记得先 rebuild
ll ret = 0;
fo(i, 1, L)
if(d[i]) {
if(k & 1) ret ^= d[i];
k >>= 1;
}
return ret;
}
顺便一提,实际上 \(\text{rebuild}\) 之后的线性基是完全等价的,可以正常做其他操作。
删除
在线的做法太复杂了一般不考不是很优美,直接说离线吧。
在线性基的每一个位置维护一个最晚插入时间 \(t\) ,那么插入的时候
FOR i=L~0
如果 目前这一位线性基为空
则将目前这一位的线性基附为 (v1,t1)
否则:
将目前这一位的线性基记为 (v2,t2)
如果 t2<t1:
将目前这一位的线性基替换为 (v1,t1)
v2^=v1
用(v2,t2)插入下一位线性基
否则:
v1^=v2
用(v1,t1)插入下一位线性基
在查询的时候只需要看 \(t \ge t_0\) 的位置就好了。
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