3rd S-curve velocity profile

3rd S-curve

 (1)

(2)

(3)

(4)

完整的三次S曲线包括上面的七个阶段。前面三个阶段为加速阶段，从初始速度Vs加速到Vmax:

(5)

整个加速阶段的位移为：

(6)

后面三个阶段为减速阶段：

(7)

(8)

也可以看作为反向加速阶段，即速度从最终速度Ve加速到Vmax:

(9)

(10)

中间的阶段为匀速阶段：

(11)

但是在实际中，受限于Vs,Ve,以及位移L，整条速度曲线并不包含完整的七个阶段，通常Jerka = Jerkd = Jerk。那么求速度曲线可以转换为以下数学问题：已知Vs,Ve,L,Amax,Jerk,Fmax，求解下面的四元三次方程组：

(12)

其中,Sa和Sd分别由式(6)和(10)计算，并且需要满足以下限制条件：

(13)

这是一个非齐次的非线性的方程组。四个未知数，但是只有两个方程以及一些限制条件。给定初值然后利用迭代法计算也许是求解的一种途径。在设定初值上，可以分情况进行讨论。流程图如下图所示。

首先使用Vs,Ve,Fmax,Amax,Jerk的值计算T1,T2,T5,T6。计算过程中先假设T2=0，计算速度从Vs达到Fmax所需的时间T1，如果T1<Amax/Jerk，则没有上面的第二个阶段，即加速度匀速的阶段。如果T1>Amax/Jerk,则T1会受到最大加速度的限制，即T1=Amax/Jerk,T2=(Fmax-Vs)/(Jerk*T1)-T1，并且根据T1,T2通过式(6)可以计算出加速阶段的位移Sa。同理可以计算出T5,T6和Sd。

如果Sa+Sd>=L，则说明最大速度可以保持匀速一段时间T4，T4=(L-Sa-Sd)/Fmax

如果Sa+Sd<L，则说明T4=0，且整条速度曲线的峰值达不到最大速度Fmax。因此问题转换为如下的数学问题：

(14)

求T1,T2,T5,T6。

当Vs=Ve时，T1=T5,T2=T6，则求解式(14)就变成求解式(15)的解：

(15)

也是先假设T2=0，则式(15)是一个关于未知数T1的一元三次方程，且因其判别式大于零，其有唯一解。因此可以求得T1。若T1<Amax/Jerk,则T2=0,若T1>Amax/Jerk,则T1=Amax/Jerk,然后再通过式(15)计算T2。

当Vs≠Ve时，方程组有四个未知数，求不到其唯一解。因此本文中采用的是Python.scipy库中的求最小值的问题来计算T1,T2,T5,T6。即解决如下数学问题：

求T=[T1,T2,T5,T6]，使得

(16)

值最小，其中，Vmax=Vs+J*T1*(T1+T2)。并满足如下的条件：

(17)

下面为这段python代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
import math

def motion_profile(args):
    vs,J,Fmax,L,t = args
    s=lambda x: (vs*t*(2*x[0]+x[1])+J*x[0]*math.pow(t,3)*(2*x[0]+x[1])*(x[0]+x[1])+(vs+J*x[0]*math.pow(t,2)*(x[0]+x[1]))*(2*x[2]+x[3])*t-J*x[2]*math.pow(t,3)*(2*x[2]+x[3])*(x[2]+x[3])-L)**2
    return s

def cons(args):
    Fmax,ve,Amax,J,vs,t = args
    cons = ({'type':'ineq',
             'fun':lambda x:np.array([Amax/J - x[0]*t,
                                      x[0],
                                      x[1],
                                      x[2],
                                      x[3],
                                      Amax/J - x[2]*t,
                                      ve-vs-J*(x[0]*t)**2 -J*x[0]*t*x[1]*t + J*x[2]*t*x[3]*t + J*(x[2]*t)**2,
                                      Fmax-ve-J*x[2]*math.pow(t,2)*(x[2]+x[3]),
                                      vs + J*(x[0]*t)**2 + J*x[0]*t*x[1]*t - J*x[2]*t*x[3]*t -J*(x[2]*t)**2])})
    return cons

def optimization(args,args1,x0):
    conditions = cons(args1)
    res = minimize(motion_profile(args),x0,method='SLSQP',constraints = conditions)

    time_list = []
    time_list.append(res.x[0])
    time_list.append(res.x[1])
    time_list.append(res.x[2])
    time_list.append(res.x[3])
    return time_list

整个代码可以见github:

https://github.com/Larissa1990/S-curve-Velocity-Profile

Example1:

Vs=40,Ve=35,Fmax=80,Amax=2000,Jerk=80000,L=5,interpolation_period=0.002

T1=0.022,T2=0,T4=0,T5=0.016,T6=0.02

Example2:

Vs=35,Ve=35,Fmax=80,Amax=2000,Jerk=80000,L=5,interpolation_period=0.002

T1=0.024,T2=0,T4=0,T5=0.024,T6=0