八数码难题之 A* 算法

人生第一个A*算法～好激动……

八数码难题……又称八数码水题，首先要理解一些东西：

1.状态可以转化成整数，比如状态： 　　1 2 3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　4 5 6

　　　　　　　　　　　　　　　　　　7 8 0

　　可以转化成：123456780这个整数

2.看上去有9*9种不同状态，实际上只有9!种（即9*8*7*6*5*4*3*2*1）种状态，哈希表大小开成一个大素数即可，每次用这个大素数去对当前的状态（整数）取余获得哈希表的键值

3.移动一个数码到0这个位置可以理解成0这个数码移动到四周的数码的位置

我先用广搜水过，速度大约是20ms左右：

 1 #include <iostream>
 2 #include <queue>
 3 #include <cstdlib>
 4 #define hash(x) (x%14233333)
 5 using namespace std;
 6 const int _end=123804765;
 7 int _sta;
 8 bool h_tab[14233333];
 9 queue<int> que,tque;
10 int move(int key,char c)
11 {
12     int p0=1,kb=key,_map[3][3],x0,y0;
13     while(1){if(kb%10==0)break;p0++,kb/=10;}
14     kb=key,x0=(9-p0)/3,y0=(9-p0)%3;
15     for(int i=2;i>=0;i--)for(int j=2;j>=0;j--)_map[i][j]=kb%10,kb/=10;
16     switch(c)
17     {
18         case 'l':if(y0==0)return key;swap(_map[x0][y0],_map[x0][y0-1]);break;
19         case 'r':if(y0==2)return key;swap(_map[x0][y0],_map[x0][y0+1]);break;
20         case 'u':if(x0==0)return key;swap(_map[x0][y0],_map[x0-1][y0]);break;
21         case 'd':if(x0==2)return key;swap(_map[x0][y0],_map[x0+1][y0]);break;
22         default:break;
23     }
24     kb=0;
25     for(int i=0;i<3;i++)for(int j=0;j<3;j++)kb=kb*10+_map[i][j];
26     return kb;
27 }
28 int main()
29 {
30     cin>>_sta;
31     if(_sta==_end)cout<<0,exit(0);
32     que.push(_sta),tque.push(0),h_tab[hash(_sta)]=1;
33     while(!que.empty())
34     {
35         int _new=move(que.front(),'u');
36         if(_new==_end)cout<<tque.front()+1,exit(0);
37         if(!h_tab[hash(_new)])h_tab[hash(_new)]=1,que.push(_new),tque.push(tque.front()+1);
38         _new=move(que.front(),'d');
39         if(_new==_end)cout<<tque.front()+1,exit(0);
40         if(!h_tab[hash(_new)])h_tab[hash(_new)]=1,que.push(_new),tque.push(tque.front()+1);
41         _new=move(que.front(),'l');
42         if(_new==_end)cout<<tque.front()+1,exit(0);
43         if(!h_tab[hash(_new)])h_tab[hash(_new)]=1,que.push(_new),tque.push(tque.front()+1);
44         _new=move(que.front(),'r');
45         if(_new==_end)cout<<tque.front()+1,exit(0);
46         if(!h_tab[hash(_new)])h_tab[hash(_new)]=1,que.push(_new),tque.push(tque.front()+1);
47         que.pop(),tque.pop();
48     }
49     return 0;
50 }

又用了双向广搜试了试，速度大概是10ms左右：

 1 #include <iostream>
 2 #include <queue>
 3 #include <cstdlib>
 4 #define hash(x) (x%14233333)
 5 using namespace std;
 6 const int _end=123804765;
 7 int _sta;
 8 unsigned short th_tab[2][14233333];
 9 bool h_tab[2][14233333];
10 queue<int> que[2];
11 int move(int key,char c)
12 {
13     int p0=1,kb=key,_map[3][3],x0,y0;
14     while(1){if(kb%10==0)break;p0++,kb/=10;}
15     kb=key,x0=(9-p0)/3,y0=(9-p0)%3;
16     for(int i=2;i>=0;i--)for(int j=2;j>=0;j--)_map[i][j]=kb%10,kb/=10;
17     switch(c)
18     {
19         case 'l':if(y0==0)return key;swap(_map[x0][y0],_map[x0][y0-1]);break;
20         case 'r':if(y0==2)return key;swap(_map[x0][y0],_map[x0][y0+1]);break;
21         case 'u':if(x0==0)return key;swap(_map[x0][y0],_map[x0-1][y0]);break;
22         case 'd':if(x0==2)return key;swap(_map[x0][y0],_map[x0+1][y0]);break;
23         default:break;
24     }
25     kb=0;
26     for(int i=0;i<3;i++)for(int j=0;j<3;j++)kb=kb*10+_map[i][j];
27     return kb;
28 }
29 int main()
30 {
31     cin>>_sta;
32     if(_sta==_end)cout<<0,exit(0);
33     que[0].push(_sta),que[1].push(_end),h_tab[0][hash(_sta)]=h_tab[1][hash(_end)]=1,th_tab[0][hash(_sta)]=th_tab[1][hash(_end)]=0;
34     while(!que[0].empty()||!que[1].empty())
35     {
36         int _new;
37         if(!que[0].empty())
38         {
39             _new=move(que[0].front(),'u');
40             if(!h_tab[0][hash(_new)])
41             {
42                 h_tab[0][hash(_new)]=1,que[0].push(_new),th_tab[0][hash(_new)]=th_tab[0][hash(que[0].front())]+1;
43                 if(h_tab[1][hash(_new)])cout<<th_tab[0][hash(_new)]+th_tab[1][hash(_new)],exit(0);
44             }
45             _new=move(que[0].front(),'d');
46             if(!h_tab[0][hash(_new)])
47             {
48                 h_tab[0][hash(_new)]=1,que[0].push(_new),th_tab[0][hash(_new)]=th_tab[0][hash(que[0].front())]+1;
49                 if(h_tab[1][hash(_new)])cout<<th_tab[0][hash(_new)]+th_tab[1][hash(_new)],exit(0);
50             }
51             _new=move(que[0].front(),'l');
52             if(!h_tab[0][hash(_new)])
53             {
54                 h_tab[0][hash(_new)]=1,que[0].push(_new),th_tab[0][hash(_new)]=th_tab[0][hash(que[0].front())]+1;
55                 if(h_tab[1][hash(_new)])cout<<th_tab[0][hash(_new)]+th_tab[1][hash(_new)],exit(0);
56             }
57             _new=move(que[0].front(),'r');
58             if(!h_tab[0][hash(_new)])
59             {
60                 h_tab[0][hash(_new)]=1,que[0].push(_new),th_tab[0][hash(_new)]=th_tab[0][hash(que[0].front())]+1;
61                 if(h_tab[1][hash(_new)])cout<<th_tab[0][hash(_new)]+th_tab[1][hash(_new)],exit(0);
62             }
63             que[0].pop();
64         }
65         if(!que[1].empty())
66         {
67             _new=move(que[1].front(),'u');
68             if(!h_tab[1][hash(_new)])
69             {
70                 h_tab[1][hash(_new)]=1,que[1].push(_new),th_tab[1][hash(_new)]=th_tab[1][hash(que[1].front())]+1;
71                 if(h_tab[0][hash(_new)])cout<<th_tab[1][hash(_new)]+th_tab[0][hash(_new)],exit(0);
72             }
73             _new=move(que[1].front(),'d');
74             if(!h_tab[1][hash(_new)])
75             {
76                 h_tab[1][hash(_new)]=1,que[1].push(_new),th_tab[1][hash(_new)]=th_tab[1][hash(que[1].front())]+1;
77                 if(h_tab[0][hash(_new)])cout<<th_tab[1][hash(_new)]+th_tab[0][hash(_new)],exit(0);
78             }
79             _new=move(que[1].front(),'l');
80             if(!h_tab[1][hash(_new)])
81             {
82                 h_tab[1][hash(_new)]=1,que[1].push(_new),th_tab[1][hash(_new)]=th_tab[1][hash(que[1].front())]+1;
83                 if(h_tab[0][hash(_new)])cout<<th_tab[1][hash(_new)]+th_tab[0][hash(_new)],exit(0);
84             }
85             _new=move(que[1].front(),'r');
86             if(!h_tab[1][hash(_new)])
87             {
88                 h_tab[1][hash(_new)]=1,que[1].push(_new),th_tab[1][hash(_new)]=th_tab[1][hash(que[1].front())]+1;
89                 if(h_tab[0][hash(_new)])cout<<th_tab[1][hash(_new)]+th_tab[0][hash(_new)],exit(0);
90             }
91             que[1].pop();
92         }
93     }
94     return 0;
95 }

然后我一条路走到黑，研究起了A*算法……

A*算法我现在研究也不透彻……也是一种广搜，它通过一个估值函数，估算当前扩展出的新状态到目标状态的代价，再选中代价最小的新状态扩展，直到扩展到目标状态……

非常快，速度大概是0~1ms

先转发一个写A*算法很不错的博客：http://www.cnblogs.com/yanlingyin/archive/2012/01/15/2322640.html

再贴个代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <deque>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <cstdlib>
 5 #define _abs(x) (x>=0?x:-x)//绝对值函数
 6 #define h_size 14233333//哈希表大小
 7 #define hash(x) (x%h_size)
 8 using namespace std;
 9 typedef pair<int,int> pii;
10 const int _end=123804765,_enp[2][9]={{1,0,0,0,1,2,2,2,1},{1,0,1,2,2,2,1,0,0}};//end为目标状态,enp[0][i]表示目标状态中数字i所在的行,enp[1][i]表示数字i所在的列
11 int _sta;//开始状态
12 bool _clo[h_size];//a*算法的close表
13 deque<pii> _ol;//a*算法的open表（使用双端队列）
14 int h(int key)//估值函数，使用曼哈顿距离估值
15 {
16     int _map[3][3],_kp[2][9],sum=0;
17     for(int i=2;i>=0;i--)for(int j=2;j>=0;j--)_kp[0][key%10]=i,_kp[1][key%10]=j,key/=10;
18     for(int i=0;i<9;i++)sum+=abs(_kp[0][i]-_enp[0][i])+abs(_kp[1][i]-_enp[1][i]);
19     return sum;
20 }
21 int move(int key,char _ctr)//移动数字0函数,u表示向上，d表示向下,l表示向左,r表示向右
22 {
23     int _kb=key,_map[3][3],i0,j0;
24     for(int i=2;i>=0;i--)for(int j=2;j>=0;j--){_map[i][j]=_kb%10,_kb/=10;if(_map[i][j]==0)i0=i,j0=j;}
25     switch(_ctr)//如果无法扩展（即到达边界）就返回移动前的值
26     {
27         case 'u':if(i0==0)return key;swap(_map[i0][j0],_map[i0-1][j0]);break;
28         case 'd':if(i0==2)return key;swap(_map[i0][j0],_map[i0+1][j0]);break;
29         case 'l':if(j0==0)return key;swap(_map[i0][j0],_map[i0][j0-1]);break;
30         case 'r':if(j0==2)return key;swap(_map[i0][j0],_map[i0][j0+1]);break;
31     }
32     for(int i=0;i<3;i++)for(int j=0;j<3;j++)_kb=_kb*10+_map[i][j];
33     return _kb;
34 }
35 bool cmp(pii a,pii b){return a.second<b.second;}//二分查找比较函数
36 void work(pii _nex)//处理新状态
37 {
38     if(_nex.first==_end)cout<<_nex.second-h(_nex.first),exit(0);//发现正解，直接输出并结束程序
39     if(!_clo[hash(_nex.first)])_ol.insert(lower_bound(_ol.begin(),_ol.end(),_nex,cmp),_nex);//二分查找插入新状态
40 }
41 int main()
42 {
43     cin>>_sta;
44     _ol.push_back(make_pair(_sta,h(_sta)));//把开始状态加入到open表中
45     while(!_ol.empty())//处理open表
46     {
47         pii _now=_ol.front();
48         _ol.pop_front(),_clo[hash(_now.first)]=1;//把当前open表中的最优状态取出并加入到close表中
49         int _nex=move(_now.first,'u');//扩展新状态
50         work(make_pair(_nex,_now.second-h(_now.first)+h(_nex)+1)),_nex=move(_now.first,'d');
51         work(make_pair(_nex,_now.second-h(_now.first)+h(_nex)+1)),_nex=move(_now.first,'l');
52         work(make_pair(_nex,_now.second-h(_now.first)+h(_nex)+1)),_nex=move(_now.first,'r');
53         work(make_pair(_nex,_now.second-h(_now.first)+h(_nex)+1));
54     }
55     return 0;
56 }