【XSY2691】中关村 卢卡斯定理 数位DP

题目描述

　　在一个\(k\)维空间中，每个整点被黑白染色。对于一个坐标为\((x_1,x_2,\ldots,x_k)\)的点，他的颜色我们通过如下方式计算：

• 如果存在一维坐标是\(0\)，则颜色是黑色。
• 如果这个点是\((1,1,\ldots,1)\)（每一维都是\(1\)），这个点的颜色是白色
• 如果这个点的\(k\)个前驱（任取一维坐标减\(1\)）中的白点有奇数个，那么这个点的颜色就是白色，否则就是黑色

　　给出一个\(k\)维超矩形，求这个矩形内的白点个数。

　　\(k\leq 9,1\leq l_i\leq r_i\leq {10}^{15}\)

题解

　　先把所有坐标\(-1\)。

　　然后DP。

　　设\(S=(x_1,x_2,\ldots,x_k)\)。

　　设\(f_S\)为一个坐标为\(S\)点的颜色（\(1\)为白色，\(0\)为黑色）。

　　\(f_S=f_{S_1}\oplus f_{S_2}\oplus \cdots \oplus f_{S_k}\)。其中\(S_1,S_2,\ldots,S_k\)为\(S\)的\(k\)个前驱。

　　这个表达式同样可以看成\(f_S=(\sum_{i=1}^k f_{S_i})\mod 2\)。

　　那么可以看出\(f_S\)就是从\((0,0,\ldots,0)\)走到\(S\)的方案数\(\mod 2\)，就是\(\binom{x_1+x_2+\cdots+x_k}{x_1~x_2~\cdots~x_k}\mod 2\)。

　　我们推广一下卢卡斯定理，就会发现\(f_S=1\)当且仅当\(x_1,x_2,\ldots,x_k\)之间两两and和为\(0\)。

　　可以用数位DP计算这个东西。

　　时间复杂度：\(O(3^{\log r})\)

　　我偷懒写了\(O(4^{\log r})\)的做法。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<utility>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
int n,s;
pii a[110];
int f[110][110][110];
int xx[110];
int yy[110];
int m1,m2;
int d[110];
int gao(int x)
{
	return x?s/x:0x3fffffff;
}
int gao(int l,int r,int h)
{
	int &s=f[h][l][r];
	if(~s)
		return s;
	while(l<=r&&d[l]<=h)
		l++;
	while(l<=r&&d[r]<=h)
		r--;
	if(l>r)
		return s=0;
	int i;
	s=0x7fffffff;
	for(i=l;i<r;i++)
		s=min(s,gao(l,i,h)+gao(i+1,r,h));
	int hh=gao(xx[r]-xx[l]);
	if(hh<=yy[h])
		return s;
	int v=upper_bound(yy+1,yy+m2+1,hh)-yy-1;
	s=min(s,gao(l,r,v)+1);
	return s;
}
void solve()
{
	scanf("%d%d",&n,&s);
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i].first,&a[i].second);
		xx[i]=a[i].first;
		yy[i]=a[i].second;
	}
	sort(xx+1,xx+n+1);
	sort(yy+1,yy+n+1);
	m1=unique(xx+1,xx+n+1)-xx-1;
	m2=unique(yy+1,yy+n+1)-yy-1;
	memset(f,-1,sizeof f);
	for(i=1;i<=m1;i++)
		d[i]=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i].first=lower_bound(xx+1,xx+m1+1,a[i].first)-xx;
		a[i].second=lower_bound(yy+1,yy+m2+1,a[i].second)-yy;
		d[a[i].first]=max(d[a[i].first],a[i].second);
	}
	int ans=gao(1,m1,0);
	printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);
	#endif
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
		solve();
	return 0;
}