【XSY2771】城市 分治

题目描述

　　一个平原上有\(n\)个城市，第\(i\)个城市在点\((\cos \frac{2i\pi}{n},\sin \frac{2i\pi}{n})\)上。

　　每个城市和最近的两个城市有一条直线段的路。

　　此外，还有\(n-3\)条路，这些路不会和原有的路重合，这些路之间也不会相交。

　　通过每条道路均要花费\(1\)的时间。

　　每次给你两个城市，问你从一个城市到另一个城市最快要多久。

　　\(n\leq 100000\)

题解

　　先把图画出来，容易发现这是一个平面图，且这个图的对偶图是一棵树，每个点的度数不超过\(3\)。

　　那么我们可以对这棵树分治（点分治边分治都可以）。

　　每次选择一条边，对于每个询问，这个询问的最短路径可以经过这条边的两个端点，也可以不经过。

　　那么可以从这条边的两个端点开始BFS，并更新答案。

　　对于一个询问，如果这个询问的两个点不在这条边的同一侧，就可以把这个询问扔掉了，否则递归下去处理。

　　时间复杂度：\(O(n\log n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<utility>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;typedef long long ll;typedef pair<int,int> pii;void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}int rd(){int s,c;while((c=getchar())<'0'||c>'9');s=c-'0';while((c=getchar())>='0'&&c<='9')s=s*10+c-'0';return s;}
vector<int> g[100010];
int e[100010][3];
int qu[100010][3];
int c[100010];
int ti;
int tot;
int b[100010];
queue<int> q;
int num[100010];
int ans[100010];
int d[100010];
void bfs(int x)
{
	d[x]=0;
	q.push(x);
	ti++;
	b[x]=ti;
	while(!q.empty())
	{
		x=q.front();
		q.pop();
		for(auto v:g[x])
			if(c[v]==tot&&b[v]!=ti)
			{
				d[v]=d[x]+1;
				b[v]=ti;
				q.push(v);
			}
	}
}
int cnt;
int dist(int l,int r)
{
	if(r<l)
		r+=cnt;
	return r-l+1;
}
int belong(int l,int r,int x)
{
	if(l>r)
		r+=cnt;
	if(x<l)
		x+=cnt;
	return x<=r;
}
int belong2(int l,int r,int x)
{
	if(l>r)
		r+=cnt;
	if(x<=l)
		x+=cnt;
	return x<r;
}
void solve(vector<int> &id,vector<int> &qid)
{
	if(!qid.size())
		return;
	if(id.size()<=1)
		return;
	tot++;
	cnt=0;
	for(auto v:id)
	{
		c[v]=tot;
		num[v]=++cnt;
	}
	int s=0x7fffffff,x1,x2;
	for(auto v1:id)
		for(auto v2:g[v1])
			if(c[v2]==tot)
			{
				int v=max(dist(num[v1],num[v2]),dist(num[v2],num[v1]));
				if(v<s)
				{
					s=v;
					x1=v1;
					x2=v2;
				}
			}
	bfs(x1);
	for(auto v:qid)
		ans[v]=min(ans[v],d[qu[v][1]]+d[qu[v][2]]);
	bfs(x2);
	for(auto v:qid)
		ans[v]=min(ans[v],d[qu[v][1]]+d[qu[v][2]]);
	if(id.size()<=3)
		return;
	vector<int> id1,id2,qid1,qid2;
	for(auto v:id)
	{
		if(belong(num[x1],num[x2],num[v]))
			id1.push_back(v);
		if(belong(num[x2],num[x1],num[v]))
			id2.push_back(v);
	}
	for(auto v:qid)
	{
		if(belong2(num[x1],num[x2],num[qu[v][1]])&&belong2(num[x1],num[x2],num[qu[v][2]]))
			qid1.push_back(v);
		if(belong2(num[x2],num[x1],num[qu[v][1]])&&belong2(num[x2],num[x1],num[qu[v][2]]))
			qid2.push_back(v);
	}
	solve(id1,qid1);
	solve(id2,qid2);
}
int n,m;
int main()
{
	open("b");
	scanf("%d",&n);
	int x,y;
	for(int i=1;i<=n-3;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		x++;
		y++;
		g[x].push_back(y);
		g[y].push_back(x);
		e[i][1]=x;
		e[i][2]=y;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		g[i].push_back(i%n+1);
		g[i%n+1].push_back(i);
	}
	vector<int> id,qid;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		id.push_back(i);
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&qu[i][1],&qu[i][2]);
		qu[i][1]++;
		qu[i][2]++;
		qid.push_back(i);
		if(qu[i][1]==qu[i][2])
			ans[i]=0;
		else
			ans[i]=0x7fffffff;
	}
	solve(id,qid);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}