【BZOJ5302】[HAOI2018]奇怪的背包(动态规划,容斥原理)
【BZOJ5302】[HAOI2018]奇怪的背包(动态规划,容斥原理)
题面
题解
为啥泥萌做法和我都不一样啊
一个重量为\(V_i\)的物品,可以放出所有\(gcd(V_i,P)\)的重量,而多个物品也只要\(gcd\)就好了。
现在的问题转变成了有多少个集合\(S\),满足\(S+\{P\}\)中所有数的\(gcd\)是\(w\)的因数。那么实际上就是直接令\(a[i]'=gcd(a[i],P)\),然后选出一个集合使得它是\(gcd(P,w)\)的因数。
考虑对于\(P\)的每个因数预处理答案,不记得在哪里看到的,当\(P\)较大的时候,其约数个数是\(P^{\frac{1}{3}}\)级别,那么在这里就可以暴力把所有因数算出来之后\(O(\sigma^2)\)计算,即先统计有多少个\(a[i]'\)是当前\(d\)的倍数,那么贡献是\(2^{s}-1\),然后容斥减去所有\(d\)的倍数的答案就是\(gcd\)为\(d\)的答案。然后再\(O(\sigma^2)\)的计算约数和就好了。
这样子复杂度大概是\(O((n+Q)logP+\sigma(P)^2)\),前面那个\(log\)来自于\(gcd\)的复杂度。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 1000100
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int n,Q,P,a[MAX],bin[MAX];
const int blk=50000;
int w[blk],tot,id1[blk],id2[blk],f[blk],s[blk];
int ID(int x){return x<blk?id1[x]:id2[P/x];}
int S[blk],top;
int main()
{
n=read();Q=read();P=read();
for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=__gcd(read(),P);
bin[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)bin[i]=(bin[i-1]<<1)%MOD;
for(int i=1;i*i<=P;++i)
if(P%i==0)
{
w[++tot]=i;
if(P/i!=i)w[++tot]=P/i;
}
sort(&w[1],&w[tot+1]);
for(int i=1;i<=tot;++i)
if(w[i]<blk)id1[w[i]]=i;
else id2[P/w[i]]=i;
for(int i=1;i<=n;++i)s[ID(a[i])]+=1;
for(int i=tot;i;--i)
{
int cnt=0;top=0;
for(int j=i;j<=tot;++j)
if(w[j]%w[i]==0)S[++top]=j,cnt+=s[j];
f[i]=bin[cnt]-1;
for(int j=2;j<=top;++j)f[i]=(f[i]+MOD-f[S[j]])%MOD;
}
for(int i=tot;i;--i)
for(int j=1;j<i;++j)
if(w[i]%w[j]==0)f[i]=(f[i]+f[j])%MOD;
while(Q--)
{
int d=__gcd(read(),P);
printf("%d\n",f[ID(d)]);
}
return 0;
}
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