CodeForces - 24D ：Broken robot （DP+三对角矩阵高斯消元 随机）

pro：给定N*M的矩阵，以及初始玩家位置。 规定玩家每次会等概率的向左走，向右走，向下走，原地不动，问走到最后一行的期望。保留4位小数。

sol：可以列出方程，高斯消元即可，发现是三角矩阵，O(N*M)----元素个数。  也可以用反复逼近答案。 反复做，dp[i][j]=(dp[i][j+1]+dp[i][j-1]+dp[i][j]+dp[i-1][j])/d[j]+1.0  为了使逼近效果更好，我每次先左一次，再右一次。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
double dp[maxn][maxn]; int d[maxn];
int main()
{
    int N,M,x,y;
    scanf("%d%d%d%d",&N,&M,&x,&y);
    rep(i,,M){
        d[i]=;
        if(i>) d[i]++;
        if(i<M) d[i]++;
    }
    rep(i,x+,N){
        rep(t,,){
            rep(j,,M) dp[i][j]=(dp[i][j+]+dp[i][j-]+dp[i][j]+dp[i-][j])/d[j]+1.0;
            for(int j=M;j>=;j--) dp[i][j]=(dp[i][j+]+dp[i][j-]+dp[i][j]+dp[i-][j])/d[j]+1.0;
        }
    }
    printf("%.10lf\n",dp[N][y]);
    return ;
}

高斯消元版本：

由于同行之间有后效性，所以我们在相邻层之间列方程，然后高斯消元。  即N次高斯消元，由于是上三角矩阵，所以每次高斯消元的复杂度是线性的：每行消去一个，然后倒着求解即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
double a[maxn][maxn],res[maxn],ans[maxn][maxn];
int N,M,X,Y;
void Guass()
{
    for(int R=N-;R>=X;R--){
        rep(i,,M) res[i]=ans[R+][i];
        a[][]=a[M][M]=-2.0/3.0; a[][]=a[M][M-]=1.0/3.0;
        res[]=-ans[R+][]/3.0-; res[M]=-ans[R+][M]/3.0-;
        rep(i,,M-){
           a[i][i-]=a[i][i+]=1.0/4.0;
           a[i][i]=-3.0/4.0;
           res[i]=-ans[R+][i]/4.0-;
        }
        rep(i,,M-){
            double t=a[i+][i]/a[i][i];
            a[i+][i]-=t*a[i][i];
            a[i+][i+]-=t*a[i][i+];
            //a[i+1][i+2]-=t*a[i][i+2]; 不知道为什么这行删去了也能AC
            res[i+]-=t*res[i];
        }
        ans[R][M]=res[M]/a[M][M];
        for(int i=M-;i>=;i--){
            ans[R][i]=(res[i]-a[i][i+]*ans[R][i+])/a[i][i];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&N,&M,&X,&Y);
    if(M==){
        printf("%.10lf\n",2.0*(N-X));
        return ;
    }
    Guass();
    printf("%.10lf\n",ans[X][Y]);
    return ;
}