HDU 6588 Function
求$$\sum_{i=1}^{n} \gcd(\lfloor \sqrt[3]{i} \rfloor, i)$$
题解写的很清楚,自己重新推一推。
$$\sum_{i=1}^{n} \gcd(\lfloor \sqrt[3]{i} \rfloor, i)$$
$$=\sum_{a=1}^{\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor}\sum_{i=1}^{n}\gcd(a, i)[\sqrt[3]{i}=a]$$
$$=\sum_{a=1}^{\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor}\sum_{i=a^3}^{\min\{(a+1)^3-1,n\}}\gcd(a,i)$$
$$=\sum_{i=\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor ^3}^{n}\gcd(\sqrt[3]{n}, i)+\sum_{a=1}^{r}\sum_{i=a^3}^{(a+1)^3-1}\gcd(a,i)$$
其中 $r = \sqrt[3]{n}-1$
设 $f(n,a)=\sum_{i=1}^{n}\gcd(i, a)$
$$f(n,a)=\sum_{i=1}^{n}\gcd(i,a)$$
$$=\sum_{d|a}d\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,a)=d]$$
$$=\sum_{d|a}d\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}[\gcd(i, \frac{a}{d}) =1]$$
$$=\sum_{d|a}d\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{p|\gcd(i,\frac{a}{d})}\mu(p)$$
$$=\sum_{d|a}d\sum_{p|\frac{a}{d}}\mu(p)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}[p|i]$$
$$=\sum_{d|a}d\sum_{p|\frac{a}{d}}\mu(p)\lfloor \frac{n}{pd} \rfloor$$
$$=\sum_{T|a}\lfloor \frac{n}{T}\rfloor\sum_{p|T}\mu(p)\frac{T}{p}$$
$$=\sum_{T|a}\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \varphi(T)$$
第一部分可以 $O(\sqrt{n})$ 解决。
将 $f(n, a)$ 带入第二部分得
$$\sum_{a=1}^r \sum_{i=a}^{(a+1)^3-1}\gcd(a,i)$$
$$=\sum_{a=1}^{r}\sum_{T|a}(\lfloor\frac{(a+1)^3-1}{T}\rfloor - \lfloor\frac{a^3-1}{T}\rfloor)\varphi(T)$$
$$=\sum_{T = 1}^{r}\varphi(T)\sum_{b=1}^{\lfloor\frac{r}{T}\rfloor}(\lfloor\frac{(bT+1)^3-1}{T} \rfloor-\lfloor\frac{(bT)^3-1}{T} \rfloor)$$
$$=\sum_{T=1}^{r}\varphi(T)\sum_{b=1}^{\lfloor\frac{r}{T}\rfloor}(\lfloor b^3T^2+3b^2T+3b\rfloor-\lfloor b^3T^2-\frac{1}{T}\rfloor)$$
$$=\sum_{T=1}^{r}\varphi(T)\sum_{b=1}^{\lfloor\frac{r}{T}\rfloor}(3b^2T+3b+1)$$
$$=\sum_{T=1}^{r}\varphi(T)(3T\sum_{b=1}^{\lfloor\frac{r}{T}\rfloor}b^2+3\sum_{b=1}^{\lfloor\frac{r}{T}\rfloor}b + \lfloor\frac{r}{T}\rfloor)$$
这部分 $O(r)$ 解决。
用太多int128会T。
#include <bits/stdc++.h> namespace IO {
void read() {}
template <typename T, typename... T2>
inline void read(T &x, T2 &... oth) {
T f = ; x = ;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') f = -; ch = getchar(); }
while (isdigit(ch)) { x = x * + ch - ; ch = getchar(); }
x *= f;
read(oth...);
}
}
#define read IO::read
#define print IO::print
#define ll long long
#define int128 __int128 const int MOD = ;
const int inv6 = , inv2 = ;
const int N = 1e7 + ;
int prime[N], phi[N], prin;
bool vis[N]; void init() {
phi[] = ;
for (int i = ; i < N; i++) {
if (!vis[i]) { prime[++prin] = i; phi[i] = i - ; }
for (int j = ; j <= prin && i * prime[j] < N; j++) {
vis[i * prime[j]] = ;
if (i % prime[j] == ) {
phi[i * prime[j]] = prime[j] * phi[i];
break;
}
phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
}
}
} int root3(int128 n) {
int l = , r = 1e7 + ;
int ans = ;
while (l <= r) {
int128 mid = (l + r) / ;
if (mid * mid * mid <= n) l = mid + , ans = mid;
else r = mid - ;
}
return ans;
} template<class T>
T gcd(T a, T b) {
while (b) {
a %= b;
std::swap(a, b);
}
return a;
} void M(int &a) {
if (a < ) a += MOD;
if (a >= MOD) a -= MOD;
} int f(int128 n, int a) {
int ans = ;
for (int i = ; 1LL * i * i <= a; i++) {
if (a % i) continue;
int128 temp = n / i * phi[i] % MOD;
M(ans += temp);
if (a == i * i) continue;
int j = a / i;
temp = n / j * phi[j] % MOD;
M(ans += temp);
}
return ans;
} int sum_squr(int n) {
int ans = 1LL * n * (n + ) % MOD * ( * n + ) % MOD * inv6 % MOD;
return ans;
} int sum(int n) {
return 1LL * n * (n + ) / % MOD;
} int main() {
init();
int T;
read(T);
while (T--) {
int128 n;
read(n);
if (n <= ) {
int ans = ;
for (int i = ; i <= n; i++)
ans += gcd(, i);
printf("%d\n", ans);
continue;
}
int r = root3(n);
int128 rr = (int128)r * r * r;
int ans = f(n, r) - f(rr - , r);
M(ans);
r--;
for (int i = ; i <= r; i++) {
int y = r / i;
int temp = 3LL * i * sum_squr(y) % MOD;
M(temp += 3LL * sum(y) % MOD);
M(temp += y);
temp = 1LL * temp * phi[i] % MOD;
M(ans += temp);
}
printf("%d\n", ans);
}
return ;
}
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