本文将记录一些奇技淫巧和板子（最基础的也有），先从今天开始写，以前的找个时间再补上

杂项

（2020.4.29之前写的）没有系统的提纲，很杂乱，没什么看点，因此以后的会整理一下

求第\(k\)大的数

应用快速排序思想（\(O(n)\)），平常都是\(O(nlogn)\)

基于快排的思想，在每一层递归中，随机选取一个数做基准时，统计出大于基准值的数的个数\(cnt\),如果\(k<=cnt\)就在左半段（比基准数大）中寻找第\(k\)大的数，反之则在右半段寻找第\(k-cnt\)大的数

复杂度证明:

因为每次只进入了左右两段的任意一个，则在平均情况之下复杂度为:\(n+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+.....+1=O(n)\)

求长度不小于L的子段使之和最大

ST表

预处理

void st_prework() {

	for(int i=1; i<=n; ++i) f[i][0]=a[i];

	for(int j=1; j<=21; ++j)

		for(int i=1; i+(1<<j)-1<=n; ++i)

			f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);

}

查询

int query(int l,int r) {

	int res=-9999;

	int k=0;

	while((1<<(k+1)<=r-l+1)) k++;

	res=max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);

	return res;

}

\(O(1)\)实现能查询栈中最小元素

开两个栈，a存原始数据,b存历史上每个时刻的最小值

举个例子

a:9 2 1 5 3 0 2 <-

b:9 2 1 1 1 0 0 <-

每次插入元素x时，a插入x,b插入min(top(b),x),弹出时一起弹，询问时输出top(b)

二分

之前用的二分太傻比了，需要考虑的东西太多（可是我没有脑子），学长就教了一个咕咕咕的二分

int l=0,r=1e18;//取个大一点的数

while(l<=r)

{

    int mid=(l+r)>>1;

    if(check(mid)) r=mid-1,ans=mid;

    else l=mid+1;

}

cout<<ans;

double l=0,r=1e18;//取个大一点的数

while(r-l<=eps)

{

    double mid=(l+r)/2;

    if(check(mid)) r=mid,ans=mid;

    else l=mid;

}

cout<<ans;

树和图的深度优先遍历和广度优先遍历

//dfs

void dfs(int x)

{

	visit[x]=1;

	for(int i=head[x];i;i=e[i].Next)

	{

		int to=e[i].v;

		if(visit[to]) continue;

		dfs(to);

	}

}

//bfs

void bfs()

{

	queue<int>q;

	q.push(1);

	d[1]=1;//层数

	while(!q.empty())

	{

		int u=q.front();

		q.pop();

		for(int i=head[u];i;i=e[i].Next)

		{

			int to=e[i].v;

			if(visit[to]) continue;

			d[to]=d[u]+1;

			q.push(to);

		}

	}

 }

树的dfs序

dfs序的特点：

每个节点x编号在序列中出现两次，而且以这两次出现位置为端点的闭区间就是以x为根的子树的DFS序

void dfs(int x)

{

        a[++len]=x;//记录dfs序

	visit[x]=1;

	for(int i=head[x];i;i=e[i].Next)

	{

		int to=e[i].v;

		if(visit[to]) continue;

		dfs(to);

	}

        a[++len]=x;

}

求树的重心

void dfs(int x)

{

	int max_part=0;//删除掉x后最大子树大小

	size[x]=1;//子树x的大小

	visit[x]=1;

	for(int i=head[x];i;i=e[i].Next)

	{

		int to=e[i].v;

		if(visit[to]) continue;

		dfs(to);

		size[x]+=size[y];

		max_part=max(max_part,size[y]);

	}

	max_part=max(max_part,n-size[x]);//n为整颗树的节点数目

	if(max_part<ans)

	{

		ans=max_part;//记录重心对应的max_part值

		pos=x;//记录重心编号

	 }

}

图的联通块划分

void dfs(int x)

{

	visit[x]=cnt;

	for(int i=head[x];i;i=e[i].Next)

	{

		int to=e[i].v;

		if(visit[to]) continue;

		dfs(to);

	}

}

for(int i=1;i<=n;++i)

	if(!visit[i]) cnt++,dfs(i);

拓扑排序

void topsort()

{

	queue<int>q;

	for(int i=1;i<=n;++i)

		if(du[i]==0) q.push(i);//du在add时记录

	while(!q.empty())

	{

		int u=q.front();

		q.pop();

		a[++len]=u;//记录拓扑序

		for(int i=head[u];i;i=e[i].Next)

		{

			int to=e[i].v;

			if(--du[to]==0) q.push(to);

		}

	}

 }

使用负数下表

int * z=y+50

z[50]-->y[0]

treap平衡树

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=1e5+2019;

const int INF=(1<<30);

int sum=0,R=0;

int size[N],v[N],num[N],rd[N],son[N][2];

void pushup(int p) {

	size[p]=size[son[p][0]]+size[son[p][1]]+num[p];

}

void rotate(int &p,int d) {

	int k=son[p][d^1];

	son[p][d^1]=son[k][d];

	son[k][d]=p;

	pushup(p),pushup(k);

	p=k;

}

void ins(int &p,int x) {

	if(!p) {

		p=++sum;

		size[p]=num[p]=1;

		v[p]=x,rd[p]=rand();

		return ;

	}

	if(v[p]==x) {

		num[p]++,size[p]++;

		return ;

	}

	int d=(x>v[p]);

	ins(son[p][d],x);

	if(rd[p]<rd[son[p][d]]) rotate(p,d^1);

	pushup(p);

}

void del(int &p,int x) {

	if(!p) return ;

	if(x<v[p]) del(son[p][0],x);

	else if(x>v[p]) del(son[p][1],x);

	else {

		if(!son[p][0]&&!son[p][1]) {

			num[p]--,size[p]--;

			if(num[p]==0) p=0;

		} else if(son[p][0]&&!son[p][1]) {

			rotate(p,1);

			del(son[p][1],x);

		} else if(!son[p][0]&&son[p][1]) {

			rotate(p,0);

			del(son[p][0],x);

		} else if(son[p][0]&&son[p][1]) {

			int d=(rd[son[p][0]]>rd[son[p][1]]);

			rotate(p,d);

			del(son[p][d],x);

		}

	}

	pushup(p);

}

int paiming(int p,int x)

{

	if(!p) return 0;

	if(v[p]==x) return size[son[p][0]]+1;

	if(v[p]<x) return size[son[p][0]]+num[p]+paiming(son[p][1],x);

	if(v[p]>x) return paiming(son[p][0],x);

}

int find(int p,int x)

{

	if(!p) return 0;

	if(size[son[p][0]]>=x) return find(son[p][0],x);

	else if(size[son[p][0]]+num[p]<x) return find(son[p][1],x-num[p]-size[son[p][0]]);

	else return v[p];

}

int pre(int p,int x)

{

	if(!p) return -INF;

	if(v[p]>=x) return pre(son[p][0],x);

	else return max(v[p],pre(son[p][1],x));

}

int Next(int p,int x)

{

	if(!p) return INF;

	if(v[p]<=x) return Next(son[p][1],x);

	else return min(v[p],Next(son[p][0],x));

}

int main() {

	int n;

	scanf("%d",&n);

	for (int i=0; i<n; ++i) {

		int opt,x;

		scanf("%d%d",&opt,&x);

		if (opt==1) ins(R,x);

		else if (opt==2) del(R,x);

		else if (opt==3) printf("%d\n",paiming(R,x));

		else if (opt==4) printf("%d\n",find(R,x));

		else if (opt==5) printf("%d\n",pre(R,x));

		else if (opt==6) printf("%d\n",Next(R,x));

	}

	return 0;

}

fhq treap

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=1e5+2019;

struct node {

	int l,r;

	int val,key;

	int size;

} fhq[N];

int T;

int cnt,root;

int nownode(int val) {

	fhq[++cnt].val=val;

	fhq[cnt].size=1;

	fhq[cnt].key=rand();

	return cnt;

}

void update(int p) {

	fhq[p].size=fhq[fhq[p].l].size+fhq[fhq[p].r].size+1;

}

void spilt(int now,int val,int &x,int &y) {//x和y是拆分后两树的根节点

	if(!now) x=y=0;

	else {

		if(fhq[now].val<=val) {

			x=now;

			spilt(fhq[now].r,val,fhq[now].r,y);//拆分右子树，因为右子树中可能还存在比val小的节点

		} else {

			y=now;

			spilt(fhq[now].l,val,x,fhq[now].l);//复读机

		}

		update(now);

	}

}

int merge(int x,int y) {

	if(!x||!y) return x+y;

	if(fhq[x].key>fhq[y].key) { //维护根的性质

		//根据堆的性质得到的新树x在y上面，而且根据二叉搜索树的性质y一定在x下面，所有y在x右下

		fhq[x].r=merge(fhq[x].r,y);

		update(x);

		return x;

	} else { //复读机

		fhq[y].l=merge(x,fhq[y].l);

		update(y);

		return y;

	}

}

int x,y,z;

void ins(int val) {

	spilt(root,val,x,y);

	root=merge(merge(x,nownode(val)),y);//这里忘给root负值了

}

void del(int val) {

	spilt(root,val,x,z);

	spilt(x,val-1,x,y);

	y=merge(fhq[y].l,fhq[y].r);

	root=merge(merge(x,y),z);

}

int getrank(int val) {

	spilt(root,val-1,x,y);

	int ret=fhq[x].size+1;

	root=merge(x,y);//先return再合并

	return ret;

}

int getnum(int pm) {

	int now=root;

	while(now) {

		if(fhq[fhq[now].l].size+1==pm) break;

		else if(fhq[fhq[now].l].size>=pm) now=fhq[now].l;

		else {

			pm-=fhq[fhq[now].l].size+1;

			now=fhq[now].r;

		}

	}

	return fhq[now].val;

}

int pre(int val) {

	spilt(root,val-1,x,y);

	int now=x;

	while(fhq[now].r) now=fhq[now].r;

	int ret=fhq[now].val;

	root=merge(x,y);

	return ret;

}

int Next(int val) {

	spilt(root,val,x,y);

	int now=y;

	while(fhq[now].l) now=fhq[now].l;

	int ret=fhq[now].val;

	root=merge(x,y);

	return ret;

}

int main() {

	srand((unsigned)time(0));

	scanf("%d",&T);

	while(T--) {

		int opt,x;

		scanf("%d%d",&opt,&x);

		if(opt==1) ins(x);

		if(opt==2) del(x);

		if(opt==3) cout<<getrank(x)<<'\n';

		if(opt==4) cout<<getnum(x)<<'\n';

		if(opt==5) cout<<pre(x)<<'\n';

		if(opt==6) cout<<Next(x)<<'\n';

	}

	return 0;

}

可能是splay

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=1e5+2019;

const int INF=(1<<30);

int sum=0,R=0;

int size[N],v[N],num[N],rd[N],son[N][2];

void pushup(int p) {

	size[p]=size[son[p][0]]+size[son[p][1]]+num[p];

}

void rotate(int &p,int d) {

	int k=son[p][d^1];

	son[p][d^1]=son[k][d];

	son[k][d]=p;

	pushup(p),pushup(k);

	p=k;

}

void ins(int &p,int x) {

	if(!p) {

		p=++sum;

		size[p]=num[p]=1;

		v[p]=x,rd[p]=rand();

		return ;

	}

	if(v[p]==x) {

		num[p]++,size[p]++;

		return ;

	}

	int d=(x>v[p]);

	ins(son[p][d],x);

	if(rd[p]<rd[son[p][d]]) rotate(p,d^1);

	pushup(p);

}

void del(int &p,int x) {

	if(!p) return ;

	if(x<v[p]) del(son[p][0],x);

	else if(x>v[p]) del(son[p][1],x);

	else {

		if(!son[p][0]&&!son[p][1]) {

			num[p]--,size[p]--;

			if(num[p]==0) p=0;

		} else if(son[p][0]&&!son[p][1]) {

			rotate(p,1);

			del(son[p][1],x);

		} else if(!son[p][0]&&son[p][1]) {

			rotate(p,0);

			del(son[p][0],x);

		} else if(son[p][0]&&son[p][1]) {

			int d=(rd[son[p][0]]>rd[son[p][1]]);

			rotate(p,d);

			del(son[p][d],x);

		}

	}

	pushup(p);

}

int paiming(int p,int x)

{

	if(!p) return 0;

	if(v[p]==x) return size[son[p][0]]+1;

	if(v[p]<x) return size[son[p][0]]+num[p]+paiming(son[p][1],x);

	if(v[p]>x) return paiming(son[p][0],x);

}

int find(int p,int x)

{

	if(!p) return 0;

	if(size[son[p][0]]>=x) return find(son[p][0],x);

	else if(size[son[p][0]]+num[p]<x) return find(son[p][1],x-num[p]-size[son[p][0]]);

	else return v[p];

}

int pre(int p,int x)

{

	if(!p) return -INF;

	if(v[p]>=x) return pre(son[p][0],x);

	else return max(v[p],pre(son[p][1],x));

}

int Next(int p,int x)

{

	if(!p) return INF;

	if(v[p]<=x) return Next(son[p][1],x);

	else return min(v[p],Next(son[p][0],x));

}

int main() {

	int n;

	scanf("%d",&n);

	for (int i=0; i<n; ++i) {

		int opt,x;

		scanf("%d%d",&opt,&x);

		if (opt==1) ins(R,x);

		else if (opt==2) del(R,x);

		else if (opt==3) printf("%d\n",paiming(R,x));

		else if (opt==4) printf("%d\n",find(R,x));

		else if (opt==5) printf("%d\n",pre(R,x));

		else if (opt==6) printf("%d\n",Next(R,x));

	}

	return 0;

}

位运算

补码

\(c\)按位取反后结果为\(-1-c\)

一个小技巧

\[(a+y)^x=a^x (mod y)
\]

例题

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