BZOJ 2095 [POI2010]Bridges (最大流、欧拉回路)

洛谷上有这题，但是输出方案缺SPJ。。(而且我也懒得输出方案了)

题目链接: https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2095

题解: 首先判掉度数有奇数的特殊情况，一眼能看出来二分答案(二分下界要设成每条边较小权值的最大值)，然后转化成:

给定一张图，有些边有方向，有些边无方向，问是否能给无向边定向使得所有边形成欧拉回路。

看着这个完全没觉得这像网络流啊……

好吧只要想到用网络流来做就非常简单了

考虑欧拉回路不就是每个点入度等于出度？现在入度不等于出度对吧？那我们考虑“入度等于出度”这个条件像什么？像流量平衡对吧。在网络流中每个点流入的流量等于流出的流量。

那么我们的目标是对于每个点都要求其入度出度相等均为\(\frac{du[i]}{2}\) (\(du[i]\)为\(i\)的度数，\(dui[i],duo[i]\)分别为入度出度)

现在我们已有的有向边入度比出度多\(dui[i]-duo[i]\), 那么它在无向边定向之后就要出度比入度多\(dui[i]-duo[i]\).

所以如果不加任何改动拿无向边跑最大流是出度等于入度，那么从\(S\)连一条\(dui[i]-duo[i]\)的边跑最大流就相当于出度比入度多\(dui[i]-duo[i]\)了。同理，如果出度比入度多，这条边就要连向T，权值为差的绝对值。

判断是否满流即可。

时间复杂度\(O(MaxFlow(n,m)\times \log W)\) (\(W\)为权值)

UPD: 为啥网上题解和我都不一样？？我的做法是错的吗？？求教

网上的题解都是: 对于无向边先随便定个向，然后加这条边的反向边边权为\(1\)，对于每个点与\(S\)或者\(T\)连的边权是出入度之差除以\(2\), 因为每反向一条边相当于入度\(+1\)出度\(-1\), 对差的影响是\(2\).

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1002;
const int M = 8000;
const int INF = 1e7;

namespace MaxFlow
{
	struct Edge
	{
		int v,w,nxt,rev;
	} e[(M<<1)+3];
	int n,en,s,t;
	int dep[N+3];
	int que[N+3];
	int fe[N+3];
	int te[N+3];
	void clear()
	{
		for(int i=1; i<=n; i++) fe[i] = te[i] = 0;
		for(int i=1; i<=en; i++) e[i].v = e[i].w = e[i].nxt = e[i].rev = 0;
		n = en = s = t = 0;
	}
	void addedge(int u,int v,int w)
	{
		en++; e[en].v = v; e[en].w = w;
		e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en; e[en].rev = en+1;
		en++; e[en].v = u; e[en].w = 0;
		e[en].nxt = fe[v]; fe[v] = en; e[en].rev = en-1;
	}
	bool bfs()
	{
		for(int i=1; i<=n; i++) dep[i] = 0;
		int head = 1,tail = 1; que[tail] = s; dep[s] = 1;
		while(head<=tail)
		{
			int u = que[head]; head++;
			for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
			{
				if(dep[e[i].v]==0 && e[i].w>0)
				{
					dep[e[i].v] = dep[u]+1;
					tail++; que[tail] = e[i].v;
				}
			}
		}
		return dep[t]!=0;
	}
	int dfs(int u,int cur)
	{
		if(u==t) {return cur;}
		int rst = cur;
		for(int i=te[u]; i; i=e[i].nxt)
		{
			if(dep[e[i].v]==dep[u]+1 && e[i].w>0 && rst>0)
			{
				int flow = dfs(e[i].v,min(rst,e[i].w));
				if(flow>0)
				{
					rst -= flow; e[i].w -= flow; e[e[i].rev].w += flow;
					if(e[i].w>0) te[u] = i;
					if(rst==0) {return cur;}
				}
			}
		}
		return cur-rst;
	}
	int dinic(int _n,int _s,int _t)
	{
		n = _n,s = _s,t = _t;
		int ret = 0;
		while(bfs())
		{
			for(int i=1; i<=n; i++) te[i] = fe[i];
			ret += dfs(s,INF);
		}
		return ret;
	}
}
using MaxFlow::addedge;
using MaxFlow::dinic;

struct AEdge
{
	int u,v,w1,w2;
} ae[M+3];
int dui[N+3],duo[N+3],du[N+3];
int n,m;

void clear()
{
	for(int i=1; i<=n; i++) dui[i] = duo[i] = 0;
	MaxFlow::clear();
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m); int left = 0,right = 0;
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&ae[i].u,&ae[i].v,&ae[i].w1,&ae[i].w2);
		left = max(left,min(ae[i].w1,ae[i].w2));
		right = max(right,max(ae[i].w1,ae[i].w2));
		du[ae[i].u]++; du[ae[i].v]++;
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		if(du[i]&1) {printf("NIE"); return 0;}
	}
	while(left<right)
	{
		int mid = left+((right-left)>>1);
		int std = 0;
		for(int i=1; i<=m; i++)
		{
			if(ae[i].w1<=mid && ae[i].w2<=mid)
			{
				addedge(ae[i].u+2,ae[i].v+2,1);
				addedge(ae[i].v+2,ae[i].u+2,1);
			}
			else if(ae[i].w1<=mid)
			{
				duo[ae[i].u]++; dui[ae[i].v]++;
			}
			else if(ae[i].w2<=mid)
			{
				duo[ae[i].v]++; dui[ae[i].u]++;
			}
		}
		for(int i=1; i<=n; i++)
		{
			if(dui[i]>duo[i])
			{
				addedge(i+2,2,dui[i]-duo[i]);
				std += dui[i]-duo[i];
			}
			else if(duo[i]>dui[i])
			{
				addedge(1,i+2,duo[i]-dui[i]);
			}
		}
		int ans = dinic(n+2,1,2);
		if(ans==std) {right = mid;}
		else {left = mid+1;}
		clear();
	}
	printf("%d\n",right);
	return 0;
}