[Bzoj2286][Sdoi2011]消耗战（虚树模板题附讲解）

2286: [Sdoi2011]消耗战

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Description

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在一场战争中，战场由n个岛屿和n-1个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为1的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他k个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。

侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到1号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用m次，所以我们只需要把每次任务完成即可。

Input

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第一行一个整数n，代表岛屿数量。

接下来n-1行，每行三个整数u,v,w，代表u号岛屿和v号岛屿由一条代价为c的桥梁直接相连，保证1<=u,v<=n且1<=c<=100000。

第n+1行，一个整数m，代表敌方机器能使用的次数。

接下来m行，每行一个整数k_i，代表第i次后，有k_i个岛屿资源丰富，接下来k个整数h₁,h₂,…h_k，表示资源丰富岛屿的编号。

Output

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输出有m行，分别代表每次任务的最小代价。

Sample Input

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Sample Output

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HINT

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对于100%的数据，2<=n<=250000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=n-1

Source

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Stage2 day2

虚树：

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既然是虚树的版版题，我就有必要提一下什么是虚树了，虽然我也是今天才学的。但我尽量按自己的理解讲清楚吧

什么是虚树，就是在树上选定一个集合，这个集合间所有点和他们相应lca之间重新组成的树。

设红色点为关键点，让我们来看看最后的虚树

橙色点是虚树中关键点的lca，虚点和虚边就是被去掉了。

这里看起来是两条边，其实合成了一条边

 

虚树，什么时候可以派上用场，就是询问很多，每次询问给定树的一个集合，所有询问集合点数总和不大，且问题可以转化为只和集合关键点有关时。就可以用虚树

 

比如说这道题，我们可以建出虚树，那么就是一个很简单的树形dp了，一个点要么是自己不选，所有儿子选，要么所有儿子都不选自己选。

 

那设一个点选的价值为f[i] ，这个点到1号结点路径上价值最小边为val[i]

那么

最后输出虚树根节点（root）即可。

然后我们还发现一个性质就是一个点是关键点，那么它的儿子结点可以直接忽略。

那么说了这道题怎么做了，就差怎么建出虚树了。

建虚树首先我们dfs一遍原树，建出dfs序。

我们先把关键点按从小到大排序。

然后用一个栈的形式维护一条链。

简单说

如果当前点和栈顶为一条链，那么可以直接加入栈。

如果不为一条链，那么得一直删除栈顶，直到形成一条链。

怎么具体实现呢？

设当前点和栈顶lca为g

那么如果dfn[g] >= dfn[top]那么很显然是一条链，直接push当前点即可

如果dfn[g] < dfn[top]那么不是一条链，边pop，边连边栈顶第二个个元素和栈顶。

知道dfn[g] >= dfn[top - 1]，那么把top - 1 和 top连边后加入g即可。

最后一条链没有点去pop它，所以最后还要特殊判断栈内是否还要有一条链。

这样就很方便了。

AC代码：

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# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 6e5 + ;
const LL inf = 1e15;
int hson[N],sz[N],dep[N],top[N],id[N],fa[N];LL f[N];
int head[N],dt,tot,que[N],n,m,k,a[N],cnt;LL w[N];
struct Edge{
    int to,nex;LL w;
}edge[N << ];
void AddEdge(int u,int v,LL w)
{
    if(u == v)return;
    edge[++dt] = (Edge){v,head[u],w};
    head[u] = dt;
}
void dfs(int u)
{
    sz[u] = ;
    for(int i = head[u];i;i = edge[i].nex)
    {
        if(sz[edge[i].to])continue;
        dep[edge[i].to] = dep[u] + ;
        fa[edge[i].to] = u;
        w[edge[i].to] = min(w[u],edge[i].w);
        dfs(edge[i].to);
        sz[u] += sz[edge[i].to];
        if(sz[hson[u]] < sz[edge[i].to])hson[u] = edge[i].to;
    }
}
void dfs(int u,int tp)
{
    top[u] = tp;id[u] = ++tot;
    if(hson[u])dfs(hson[u],tp);
    for(int i = head[u];i;i = edge[i].nex)
    if(!id[edge[i].to])dfs(edge[i].to,edge[i].to);
    head[u] = ;
}
int lca(int u,int v)
{
    while(top[u] != top[v])
    {
        if(dep[top[u]] < dep[top[v]])swap(u,v);
        u = fa[top[u]];
    }
    return dep[u] < dep[v] ? u : v;
}
bool cmp(int x,int y){return id[x] < id[y];}
void dp(int u)
{
    LL val = ;f[u] = w[u];
    for(int i = head[u];i;i = edge[i].nex)
    dp(edge[i].to),val += f[edge[i].to];
    if(val)f[u] = val < f[u] ? val : f[u];
    head[u] = ;
}
void solve()
{

    scanf("%d",&k);cnt = ;int g,top;dt = ;
    for(int i = ;i <= k;i++)scanf("%d",&a[i]);
    sort(a + ,a + k + ,cmp);
    for(int i = ;i <= k;i++)if(lca(a[i],a[cnt]) != a[cnt])a[++cnt] = a[i];
    que[top = ] = ;
    for(int i = ;i <= cnt;i++)
    {
        g = lca(a[i],que[top]);
        while()
        {
            if(dep[que[top - ]] <= dep[g])
            {
                AddEdge(g,que[top],);top--;
                if(que[top] != g)que[++top] = g;
                break;
            }
            AddEdge(que[top - ],que[top],);top--;
        }
        if(que[top] != a[i])que[++top] = a[i];
    }
    top--;
    while(top)AddEdge(que[top],que[top + ],),top--;
    dp();
    printf("%lld\n",f[]);
}
int main()
{
  scanf("%d",&n);int x,y;LL z;w[] = inf;
  for(int i = ;i < n;i++)
  {
    scanf("%d %d %lld",&x,&y,&z);
    AddEdge(x,y,z);AddEdge(y,x,z);
  }
  dfs();dfs(,);
  scanf("%d",&m);
  while(m--)solve();
}