19_04_19校内训练[Game]

题意

给出n，等概率地生成一个1~n的数列。现在有n个人从左到右站成一排，每个人拿有当前数列位置上的数字，并且一开始都不知道数字是多少（但知道n是多少）。从左到右让每个人进行如下选择：

1.选择保留自己的卡片，让所有人知道这个卡片上面的数字，并且走到等待区中。第一个人只能进行该选择。

2.选定等待区中的一个人，将自己的卡片与其交换，然后自己带着交换后的卡片退出游戏。等待区中的那个人会让所有人知道这个卡片上面的数字。

假如每个人都绝顶聪明，都想最大化自己的数字，求出等待区中人数的期望。n≤1E15，保留10位有效数字。

例如：E(2)=1.500000000

一开始的数列为[2,1]，一开始所有人不知道自己的数字。第一个人翻开后给所有人看，第二个人会知道自己只会是1，就和第一个人交换卡片，最后第一个人数字为1，第二个人数字为1，等待区中还有1人。

一开始的数列为[1,2]，一开始所有人不知道自己的数字。第一个人翻开后给所有人看，第二个人会知道自己是2，不交换，最后第一个人数字为1，第二个人数字为2，等待区中还有2人。

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思考

不错的题目。手算n≤3发现是个调和级数，现在来证明。

首先，若等待区最大的数字为k，且数字构成了1~k的排列，下一个必然会走到等待区；否则，下一个会和等待区中最大的数字进行交换。

1.构成了1~k的排列：若和1~k的数字进行交换，那结果必然会小于等于k，而下一个人以及下一个人之后手上的数字显然大于k，所以只会进入等待区。

2.构不成1~k的排列：设最小未出现的数字为p，下一个人的数字为m，有两种情况：

　　1.m=p。若进入等待区，不会再有人来与自己交换数字，因此结果不会变优。

　　2.m>p。若进入等待区，从最后一个人向前考虑。若一个人知道自己数字不交换会变劣，他必然会选择前面的人进行交换；前面的人知道自己被交换会变劣，就会先和前面的人交换……直到p出现。这样一来，m仍然会被替换为p。

　综上，下一人一定会选择交换。

这样考虑从n-1转移到n。从n-1的排列中插入n，若n在末尾，则有(n-1)!种可能，等待区中的人数会多1；若n不在末尾，原先形成连续的排列在经过n后仍会形成连续的排列，不是连续的排列仍不是连续的排列，对应到了n-1中，则有(n-1)*(n-1)!中可能。

故E(n)=E(n-1)+1/(n)，调和级数。