求复变函数的 Taylor 展式与 Laurent 展式[华中师范大学2010年复变函数复试试题]

设 $$\bex f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}. \eex$$

(1) 求 $f(z)$ 在 $|z|<1$ 内的 Taylor 展式.

(2) 求 $f(z)$ 在圆环 $1<|z|<2$ 内的 Laurent 展式.

(3) 求 $f(z)$ 在圆环 $|z|>2$ 内的 Laurent 展式.

解答:

(1) $$\beex \bea f(z)&=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}\\ &=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}} +\frac{1}{1-z}\\ &=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \sex{\frac{z}{2}}^n +\sum_{n=0}^\infty z^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \sex{1-\frac{1}{2^{n+1}}}z^n,\quad |z|<1. \eea \eeex$$

(2) $$\beex \bea f(z)&=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}\\ &=-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}} -\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}\\ &=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \sex{\frac{z}{2}}^n -\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z^n}\\ &=-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z^n}-\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{2^{n+1}},\quad 1<|z|<2. \eea \eeex$$

(3) $$\beex \bea f(z)&=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}\\ &=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{2}{z}} -\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}\\ &=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty \sex{\frac{2}{z}}^n -\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty \sex{\frac{1}{z}}^n\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}-1}{z^n},\quad |z|>2. \eea \eeex$$