LOJ#6374 网格

题解：

挺好的一道题

两次容斥+一次二项式反演

首先考虑部分分不存在k的限制

然后我们发现两维之间是互相独立的

下面以x轴为例

然后问题就变成了

$$\sum\limits_{i=1}^{R} {xi}=k (xi<=Mx)$$

这个东西是个经典问题,容斥做就可以了

$$h(R)=\sum\limits_{i=0}^{R}{{(-1)}^{i}*C_R^i *p(i)}$$

$$p(x)= C_{Tx-(Mx+1)*x+R-1}^{R-1}$$

但是这样还不对，因为走$(0,0)$是不合法的

所以我们求出来的$h(R)$是至多走了$R$步的方案数

令$g(x)$表示正好走了$x$步$(0,0)$的方案数

$$h(R)=\sum\limits_{i=0}^{R} { C_R^i *g(i) }$$

由这个可以二项式反演得出$g(R)$

$$g(R)=\sum\limits_{i=0}^{R} { {(-1)}^{R-i} * C_R^i *h(i) }$$

这个复杂度是$O(R*MIN(R,Tx/Mx))$的

现在加入了k个不能走的限制

显然我们需要继续容斥

因为都是$g$的倍数所以可以$/g$后进行

$dp[i][j]$表示选出$i$个和为$j$的方案数

$$ans=\sum\limits_{i=0}^{n} { {(-1)}^{i} \sum\limits_{j=0}^{100} {dp[i][j]* C_R^i *calc(Tx-j*G,R-i)} }$$

时间复杂度的话

注意到因为$g>=1e4$,所以$Mx$也要$>=1e4$

那么复杂度就是$O(50*(1e6/1e4)*(1e6/1e4)*1e3)$

并且这个很显然是不满的