CF1450E 资本主义Capitalism（差分约束）

题面

点此看题

没有永远的朋友，只有永远的利益

在这个黑漆漆的社会上，有

n

n

n 个布衣百姓，他们在利益驱使下成为金钱的奴隶，看不到属于生活的阳光。在茫茫奔途中，他们相互扶持，结交了有

m

m

m 对朋友关系。

奈何这是个资本主义社会，虽然这

n

n

n 个人没有人失业，每个人分别有

a

i

a_i

ai​ 的月薪，但是如果两个人

i

,

j

i,j

i,j 满足

a

j

=

a

i

+

1

a_j=a_i+1

aj​=ai​+1 ，也就是说

j

j

j 的月薪刚好比

i

i

i 的大 1，那么

i

i

i 就会觊觎

j

j

j 的成功。

每一对朋友关系中，总有一个人觊觎另一个人，明里交好，暗里嫉妒。

这个社会的收入不平等度定义为

max

⁡

a

i

−

min

⁡

a

i

\max a_i-\min a_i

maxai​−minai​ 。目前已知所有的朋友关系，和部分朋友关系中的嫉妒方向，以及一个范围：

0

≤

a

i

≤

1

0

6

0\leq a_i\leq 10^6

0≤ai​≤106 。没错，在利益驱使的剥削下，有的人的月薪可以达到 0 。事实上，这算比较幸运的。

也就是你，看透了这个社会的弊病，大呼着“生活万岁”，把迷茫走失的人们拉回正轨。为了详细地了解这个社会，你打算：求出最大可能的收入不平等度，以及此时可能的每个人的月薪是多少。可能无解。

1

≤

n

≤

200

,

n

−

1

≤

m

≤

2
 

000

1\leq n\leq 200,n-1\leq m\leq2\,000

1≤n≤200,n−1≤m≤2000 .

输入

第一行两个数

n

,

m

n,m

n,m。

接下来

m

m

m 行，每行三个数

i

,

j

,

b

i,j,b

i,j,b ，表示

i

,

j

i,j

i,j 之间有朋友关系。

b

∈

{

0

,

1

}

b\in\{0,1\}

b∈{0,1} ，如果

b

=

1

b=1

b=1 ，则

i

i

i 是嫉妒

j

j

j 的（

a

j

=

a

i

+

1

a_j=a_i+1

aj​=ai​+1），如果

b

=

0

b=0

b=0 ，则两个人的嫉妒方向不确定。

保证不存在重复的

(

i

,

j

)

(i,j)

(i,j)，假设每个朋友关系是条无向边，那么这保证是个连通图。

题解

正解是差分约束，想不到？其实应该比较明显的，反正我想不到。

两种情况，两种连边：

• b

  =

  1

  b=1

  b=1 ：是一个相等关系

  a

  j

  =

  a

  i

  +

  1

  a_j=a_i+1

  aj​=ai​+1 ，我们把它拆成

  a

  j

  ≤

  a

  i

  +

  1

  a_j\leq a_i+1

  aj​≤ai​+1 和

  a

  i

  ≤

  a

  j

  −

  1

  a_i\leq a_j-1

  ai​≤aj​−1 。

• b

  =

  0

  b=0

  b=0 ：即

  ∣

  a

  i

  −

  a

  j

  ∣

  =

  1

  |a_i-a_j|=1

  ∣ai​−aj​∣=1 ，姑且先把它看作

  ∣

  a

  i

  −

  a

  j

  ∣

  ≤

  1

  |a_i-a_j|\leq 1

  ∣ai​−aj​∣≤1 ，然后转化为

  a

  j

  ≤

  a

  i

  +

  1

  a_j\leq a_i+1

  aj​≤ai​+1 和

  a

  i

  ≤

  a

  j

  +

  1

  a_i\leq a_j+1

  ai​≤aj​+1 。

然后跑

F

l

o

y

d

\rm Floyd

Floyd ，如果任意一个

f

i

,

i

<

0

f_{i,i}<0

fi,i​<0 ，说明有负环，则无解。

接下来找一个起点

i

i

i ，使得在满足

∀

(

u

,

v

)

∈

E

,

f

i

,

u

≠

f

i

,

v

\forall (u,v)\in E~,~f_{i,u}\not=f_{i,v}

∀(u,v)∈E , fi,u​​=fi,v​ 以及

∀

j

∈

[

1

,

n

]

,

f

i

,

j

≥

0

\forall j\in[1,n]~,~f_{i,j}\geq 0

∀j∈[1,n] , fi,j​≥0 的前提下，

max

⁡

f

i

,

.

.

.

−

min

⁡

f

i

,

.

.

.

\max f_{i,...}-\min f_{i,...}

maxfi,...​−minfi,...​ 最大。如果找不到这样的

i

i

i 则无解。找到这个

i

i

i 后，就令

a

j

=

f

i

,

j

a_j=f_{i,j}

aj​=fi,j​ 就是了。

最后对于第二种连边，有的人可能会问，没有强制不相等的情况下差分约束，会不会漏掉一些合法情况？实际上不会，如果存在一种情况使得

f

i

,

u

≠

f

i

,

v

f_{i,u}\not=f_{i,v}

fi,u​​=fi,v​ 的话，由于差分约束的性质，因为我们没有连 0 边，一定能使其中一个更小。

CODE

#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 205
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
int ed[MAXN][MAXN];
int g[MAXN][MAXN];
int main() {
	n = read();m = read();
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		for(int j = 1;j <= n;j ++) g[i][j] = 1000000;
		g[i][i] = 0;
	}
	for(int i = 1;i <= m;i ++) {
		s = read();o = read();k = read();
		if(k == 1) { // ai = aj-1 , aj <= ai+1 ^ ai <= aj-1
			g[s][o] = 1; g[o][s] = -1;
		}
		else { // ai <= aj+1 ^ aj <= ai+1
			g[s][o] = 1; g[o][s] = 1;
		}
		ed[s][o] = ed[o][s] = 1;
	}
	for(int k = 1;k <= n;k ++) {
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			for(int j = 1;j <= n;j ++) {
				g[i][j] = min(g[i][j],g[i][k] + g[k][j]);
			}
		}
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		if(g[i][i] < 0) {
			printf("NO\n");return 0;
		}
	}
	int as = 0,ans = -1;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		bool flag = 1;
		for(int s = 1;s <= n;s ++) {
			for(int o = 1;o <= n;o ++) {
				if(ed[s][o] && g[i][s] == g[i][o]) flag = 0;
			}
		}
		if(!flag) continue;
		int mi = 1000000,ma = 0;
		for(int j = 1;j <= n;j ++) {
			mi = min(mi,g[i][j]);
			ma = max(ma,g[i][j]);
		}
		if(mi < 0) continue;
		if(ans < ma-mi) {
			ans = ma-mi; as = i;
		}
	}
	if(!as) {printf("NO\n");return 0;}
	printf("YES\n%d\n",ans);
	for(int i = 1;i <= n;i ++) printf("%d ",g[as][i]);ENDL;
	return 0;
}