SOJ1737 题解

题意

给定一个长度为 \(n\) 的串 \(S\)。

定义 \(occ(T)\) 表示串 \(T\) 在 \(S\) 中出现的次数。

\(q\) 次询问，每次询问给定一个区间 \([l,r]\)，查询 \(S[l,r]\) 的所有子串的 \(occ\) 之和。

\(1\le n,q\le 2\times 10^5\)

题解

学到了新技能，来记一下。

这是一道看起来很典的题目。但实际上并不好做。

先思考 \(n^2\) 做法（也是我的做法）。可以想到一种转化，即求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=l}^r\operatorname{lcp}(S[i,n],S[j,r])\)。离线后可以做到 \(O(n^2)\)。但这种做法已无法优化。

换一种，定义 \(f(T)\) 为 \(T\) 的所有后缀的 \(occ\) 之和。建出后缀树，则若我们知道 \(T\) 在 \(\text{sam}\) 的节点，可以 \(O(1)\) 求。此时原式等价于 \(\sum\limits_{i=l}^rf(S[l,i])\)。因为 \(S[l,l],S[l,l+1],\dots,S[l,r]\) 在 \(\texttt{sam}\) 上是一条链，所以这种做法是 \(O(n^2)\) 的。

“链”的性质为接下来的优化创造条件。这里引进一种新科技：\(\text{DAG}\) 链剖分。我们想要这样的性质：\(\text{DAG}\) 上任意一条路径经过 \(O(\log P)\) 条链，其中 \(P\) 为路径总量，在 \(\text{sam}\) 上是 \(n^2\)。建链的方法如下：

• 对所有节点，求以 \(i\) 为起点的路径数量 \(f_i\) 和以 \(i\) 为终点的路径数量 \(g_i\)。
• 令 \(nxt_i\) 为所有 \(i\) 出点中 \(f\) 最大的点，\(pre_i\) 为所有 \(i\) 入点中 \(g\) 最大的点。
• 若边 \((u,v)\) 满足 \(nxt_u=v\wedge pre_v=u\)，则其为重边。否则为轻边。
• 此时只保留所有重边，即可完成链剖。

证明一下上面的性质。若走一条轻边，必有 \(2f_v<f_u\vee g_v>2g_u\)。于是得证。

对于建链，另一种解释是：先由 \(nxt\) 建树，再由 \(pre\) 树剖。这样可以更直观地感受 \(\text{DAG}\) 链剖的妙处。

建出链后，利用前缀和进行优化，二分哈希找到何时跳出链。复杂度 \(O(n\log^2n)\)。